"Геометрия", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Теорема косинусов связывает стороны треугольника с косинусом одного из его углов. По двум сторонам и углу между ними с её помощью находят третью сторону, а по трём сторонам — косинус угла. Теорема применима не только к прямоугольным, но и к произвольным треугольникам. При угле 90° она превращается в теорему Пифагора, поэтому её можно считать обобщением этой теоремы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Теорема косинусов утверждает: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Если стороны a и b образуют угол C, а напротив него лежит сторона c, то c² = a² + b² − 2ab cos C. Формула связывает длины сторон и величину угла, поэтому помогает работать с треугольниками, для которых одной теоремы Пифагора недостаточно.
Буквы в формуле обозначают не любые величины, а стороны и угол в определённом положении: сторона c стоит слева, потому что она лежит напротив угла C. Аналогично, a² и b² — квадраты двух остальных сторон, а cos C — косинус угла напротив c. Такое соответствие нужно сохранять при подстановке данных, иначе в формуле окажутся не те величины.
Угол между сторонами — это угол, образованный двумя сторонами, которые сходятся в одной вершине. Чтобы по двум сторонам найти третью, нужно знать именно угол между известными сторонами: в формуле он стоит рядом с их произведением, а искомая сторона лежит напротив него. Если подставить другой угол треугольника, связь между величинами будет нарушена.
Если угол между двумя сторонами равен 90°, то его косинус равен нулю. Тогда слагаемое −2ab cos C обращается в ноль, и остаётся равенство c² = a² + b². Это следствие теоремы косинусов для прямоугольного треугольника — теорема Пифагора, в которой c является гипотенузой.
Теорему косинусов называют обобщением теоремы Пифагора, потому что она работает и при прямом, и при непрямом угле. В прямоугольном треугольнике косинус прямого угла равен нулю, поэтому дополнительное слагаемое исчезает. Если угол отличается от 90°, его косинус учитывает, насколько третья сторона отличается от случая, когда две известные стороны перпендикулярны. Так одна формула охватывает разные виды треугольников.
Чтобы найти сторону по двум сторонам и углу между ними, сначала определи, какая сторона лежит напротив этого угла. Затем обозначь её отдельной буквой и запиши теорему именно для неё: например, c² = a² + b² − 2ab cos C. Подставь известные длины и значение косинуса, вычисли c² и извлеки квадратный корень. Берут положительный корень, потому что длина стороны положительна.
Если известны три стороны и требуется угол, теорему преобразуют относительно косинуса. Из равенства c² = a² + b² − 2ab cos C переносим слагаемые и делим на 2ab: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab). Чтобы найти другой угол, надо поставить в роль стороны напротив него соответствующую длину, а две оставшиеся стороны использовать в знаменателе и числителе. После вычисления косинуса угол можно определить по таблице или обратной функции.
Влияние угла на третью сторону видно из знака косинуса в формуле. При остром угле косинус положителен, поэтому из суммы квадратов вычитается положительное число и квадрат третьей стороны меньше суммы квадратов двух известных сторон. При прямом угле вычитаемое равно нулю. При тупом угле косинус отрицателен: вычитание отрицательного числа увеличивает результат, поэтому третья сторона длиннее, чем в соответствующем прямоугольном случае.
Знак косинуса позволяет определить вид угла, не находя его величину. Если после подстановки трёх сторон получился положительный косинус, угол острый; если ноль — прямой; если отрицательное число — тупой. Это работает потому, что косинус острых углов положителен, косинус 90° равен нулю, а косинус тупых углов отрицателен. Перед таким выводом проверь, что выбранная сторона действительно лежит напротив нужного угла.
| Что известно | Что требуется найти | Формула или действие |
|---|---|---|
| Две стороны и угол между ними | Третью сторону | Квадрат искомой стороны равен сумме квадратов известных сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними |
| Три стороны | Косинус угла напротив выбранной стороны | Выразить косинус из теоремы косинусов |
| Две стороны и прямой угол между ними | Третью сторону | Применить теорему Пифагора как частный случай теоремы косинусов |
| Косинус угла | Вид угла | Положительный — острый, нулевой — прямой, отрицательный — тупой |
Сначала найди в таблице строку, соответствующую данным задачи, затем выбери нужную формулу или действие. Перед вычислениями проверь, какие стороны образуют известный угол и какая сторона лежит напротив искомого угла. Если требуется не косинус, а сам угол, после вычисления косинуса используй обратную функцию.
Задача 1. В треугольнике две стороны равны 5 см и 7 см, а угол между ними равен 60°. Найдём третью сторону. Угол 60° образован известными сторонами, поэтому искомая сторона лежит напротив него; обозначим её c. Используем теорему косинусов и значение cos 60° = ½.
Ответ: √39 см, или примерно 6,24 см. Перед подстановкой мы определили положение искомой стороны, поэтому использовали именно угол между сторонами 5 см и 7 см. Полученная длина согласуется с тем, что угол острый: третья сторона короче, чем была бы при прямом угле между теми же сторонами.
Задача 2. Стороны треугольника равны 5 см, 6 см и 7 см. Найдём косинус угла напротив стороны 7 см и определим вид угла. Длина 7 см занимает место c, а две другие стороны — места a и b. После вычисления дроби знак результата сразу покажет вид угла.
Ответ: cos C = ⅕, угол острый. Сторону 7 см мы поставили напротив искомого угла, а не выбрали произвольно: иначе вычислили бы косинус другого угла. Находить саму величину угла здесь не требовалось, достаточно было определить знак косинуса.
Задача 3. Две стороны треугольника равны 8 см и 5 см, а третья сторона равна 10 см. Найдём угол между сторонами 8 см и 5 см с точностью до градуса. Он лежит напротив стороны 10 см, значит, именно её обозначим c. Сначала вычислим косинус угла, а затем применим обратную функцию.
Ответ: примерно 98°. Проверка по знаку заранее показывает, что результат должен быть больше 90°, а найденная величина этому соответствует. При вычислении обратной функции убедись, что калькулятор работает в градусном режиме.
Первая ошибка — подставить косинус не того угла. Её допускают, если ориентируются только на рисунок или название угла, не проверяя, какими сторонами он образован. Для поиска стороны нужен угол между двумя известными сторонами, лежащий напротив искомой. Проверь себя: стороны под косинусом должны сходиться в вершине выбранного угла.
Вторая ошибка — забыть множитель 2 или поставить перед произведением знак плюс вместо минуса. В спешке ученик может помнить квадраты сторон, но упустить часть формулы −2ab cos C. Запиши формулу полностью до подстановки чисел. Для самопроверки сравни результат с исходной записью и убедись, что в произведении присутствуют обе стороны, число 2 и косинус.
Третья ошибка возникает при поиске угла: неверно выбирают сторону, лежащую напротив него. Тогда формула даёт косинус другого угла, хотя вычисления могут быть выполнены без арифметических ошибок. Перед подстановкой отметь нужный угол и назови сторону напротив него. Затем проверь, что именно её квадрат вычитается в числителе выражения для косинуса.
Четвёртая ошибка — считать отрицательный косинус признаком невозможного треугольника. Такой вывод делают, если забывают, что косинус тупого угла отрицателен. Вначале проверь, что три длины действительно могут быть сторонами треугольника: сумма любых двух должна быть больше третьей. Если условие выполняется, отрицательный результат для косинуса выбранного угла означает тупой угол, а не ошибку сам по себе.
Для работы с теоремой косинусов нужны теорема Пифагора, свойства треугольника и значения косинусов известных углов. Она расширяет применение теоремы Пифагора на случаи, когда угол не прямой, и помогает находить стороны и углы произвольного треугольника. Вместе с теоремой синусов она входит в инструменты тригонометрии для решения треугольников. В задачах сначала выбирают подходящую теорему по известным данным.
Как понять, какой угол подставлять в теорему косинусов?
Чтобы найти третью сторону по двум известным, подставляй угол между этими сторонами. Он лежит напротив искомой стороны. Если ищешь угол, выбери сторону, которая лежит напротив него.
Почему перед произведением сторон стоит знак минус?
Минус входит в формулу теоремы косинусов и отражает, как угол влияет на длину третьей стороны. При остром угле косинус положителен, поэтому вычитаемое уменьшает квадрат стороны; при тупом косинус отрицателен, и вычитание отрицательного числа увеличивает его.
Как теорема косинусов связана с теоремой Пифагора?
Если угол между сторонами прямой, его косинус равен нулю. Слагаемое с косинусом исчезает, и квадрат третьей стороны становится равен сумме квадратов двух других — это теорема Пифагора.
Можно ли найти угол треугольника, если известны все три стороны?
Да. Теорему косинусов можно преобразовать так, чтобы выразить косинус нужного угла через три стороны. Затем по значению косинуса находят сам угол, например с помощью обратной функции cos⁻¹.
Что означает отрицательный косинус угла в треугольнике?
Отрицательный косинус означает, что угол тупой, то есть больше 90° и меньше 180°. Это не говорит о невозможности треугольника: тупые углы встречаются в обычных треугольниках.
§ 2. Теорема косинусов
