74. Теорема косинусов

Определения и обозначения

Теорема косинусов — равенство, связывающее квадраты сторон треугольника с косинусом одного из его углов: a² = b² + c² − 2bc cos A. Здесь a, b, c — стороны, а A — угол напротив стороны a. Теорема нужна, когда данных для применения теоремы Пифагора недостаточно: например, если треугольник не прямоугольный.

Для обозначений договоримся: сторона a лежит напротив угла A, сторона b — напротив B, сторона c — напротив C. Это соответствие помогает правильно выбрать формулу и не перепутать слагаемые. Например, в формуле для стороны a используют стороны b и c и угол A, противоположный искомой стороне.

Угол между двумя сторонами — угол, образованный этими сторонами в общей вершине. Именно его косинус входит в формулу, когда известны две стороны и требуется найти третью. Если известны b и c, нужен угол A между b и c, а не любой другой угол треугольника.

Косинус угла треугольника — число, значение которого зависит от величины угла: для острого угла оно положительно, для прямого равно нулю, для тупого отрицательно. Это свойство позволяет не только вычислять стороны, но и сравнивать их квадраты. По знаку найденного косинуса можно определить вид угла.

Как это устроено

Выведем формулу для стороны a. Опустим из вершины C перпендикуляр на прямую AB и обозначим проекцию стороны AC на AB через x. По определению косинуса x = b cos A, а высота h и отрезок x образуют прямоугольный треугольник со стороной b. По теореме Пифагора для стороны BC получаем a² = h² + (c − x)², а для b имеем b² = h² + x². Подставляя x = b cos A и используя cos² A + sin² A = 1, получаем a² = b² + c² − 2bc cos A.

Если угол A прямой, то cos A = 0. Тогда слагаемое 2bc cos A становится нулём, и формула принимает вид a² = b² + c². Это теорема Пифагора: сторона a лежит напротив прямого угла и является гипотенузой. Значит, теорема косинусов включает случай прямоугольного треугольника как частный случай.

Знак косинуса объясняет, как угол влияет на сторону напротив него. При остром A косинус положителен, поэтому из b² + c² вычитается положительное число и a² меньше этой суммы. При тупом A косинус отрицателен: вычитание отрицательного числа увеличивает результат, поэтому a² больше b² + c². При прямом угле квадраты равны их сумме без дополнительного слагаемого.

Так же записывают формулу для любой стороны: b² = a² + c² − 2ac cos B и c² = a² + b² − 2ab cos C. Выбирай запись по тому, какой угол или сторону рассматриваешь: буква у искомой стороны должна совпасть с буквой угла, стоящего в формуле. Если известны две стороны и заключённый между ними угол, ищи противоположную сторону; если известны все три стороны, удобно выразить косинус нужного угла.

Чтобы найти угол A по известным сторонам, перенесём слагаемые в равенстве a² = b² + c² − 2bc cos A. Получим cos A = (b² + c² − a²) / 2bc. Если результат положительный, A острый; если равен нулю, прямой; если отрицательный, тупой. Значение косинуса должно лежать от −1 до 1, поскольку за эти пределы косинус угла не выходит.

Теорема косинусов: выбор формулы по известным данным

Сначала выпиши, что известно и что требуется найти, а затем выбери строку таблицы. При нахождении стороны проверь, что подставляешь угол между данными сторонами; при нахождении угла правильно определи, какая сторона ему противоположна.

Разбор задач

Задача 1. Две стороны треугольника равны 5 см и 7 см, а угол между ними — 60°. Найдите третью сторону. Так как задан именно угол между известными сторонами, искомая сторона лежит напротив него. Обозначим её a, а известные стороны — b = 5 и c = 7.

1. Запишем формулу: a² = b² + c² − 2bc cos A.
2. Подставим данные и cos 60° = ½: a² = 5² + 7² − 2 · 5 · 7 · ½ = 25 + 49 − 35 = 39.
3. Длина стороны положительна, поэтому a = √39 см.

Ответ: √39 см. Результат меньше √74, то есть корня из суммы квадратов данных сторон: это согласуется с тем, что угол 60° острый.

Задача 2. Стороны треугольника равны 5 см, 6 см и 8 см. Найдите косинус угла напротив стороны 8 см и определите вид угла. Искомый угол обозначим A, а противоположную ему сторону — a = 8. Две остальные стороны будут b = 5 и c = 6.

1. Выразим косинус: cos A = (b² + c² − a²) / 2bc.
2. Подставим числа: cos A = (25 + 36 − 64) / (2 · 5 · 6) = −3/60 = −1/20.
3. Косинус отрицателен, значит, угол A тупой.

Ответ: cos A = −1/20, угол тупой. Отрицательный результат здесь закономерен: квадрат стороны 8 больше суммы квадратов сторон 5 и 6.

Задача 3. Две стороны треугольника равны 7 см и 9 см, а угол между ними — 120°. Найдите третью сторону и сравните её с длиной стороны при угле 60° между теми же сторонами. Искомая сторона противоположна углу, поэтому применим к ней теорему косинусов. Для сравнения вычислим квадрат стороны в обоих случаях.

1. При 120° имеем cos 120° = −½: a² = 7² + 9² − 2 · 7 · 9 · (−½) = 49 + 81 + 63 = 193.
2. Значит, при угле 120° третья сторона равна √193 см.
3. При угле 60° квадрат стороны был бы 49 + 81 − 63 = 67, а сама сторона — √67 см.
4. Поскольку 193 > 67, то √193 > √67: сторона при угле 120° длиннее.

Ответ: √193 см; она длиннее, чем √67 см при угле 60°. Причина в отрицательном косинусе тупого угла: в формуле вычитается отрицательное число, поэтому квадрат стороны увеличивается.

Типичные ошибки

Подставляют угол, который не заключён между известными сторонами. Так бывает, когда выбирают угол только по его величине или положению на рисунке, не проверяя его стороны. Перед вычислением отметь две известные стороны: угол формулы должен быть образован именно ими.

Путают соответствие сторон и углов, например считают, что a лежит напротив B. Ошибку легко допустить, если воспринимать буквы как произвольные метки, а не как установленную пару. Проверь правило: a напротив A, b напротив B, c напротив C; буква искомой стороны совпадает с буквой противоположного угла.

Теряют минус в слагаемом −2bc cos A или считают, что при тупом угле это слагаемое обязательно уменьшает результат. Причина в том, что отрицательный косинус превращает вычитание в сложение. Подставляй значение косинуса в скобках и отдельно проверяй знак результата: для тупого угла квадрат противоположной стороны больше суммы квадратов двух других.

При поиске угла получают косинус больше 1 или меньше −1 и продолжают вычисления. Такое число невозможно для косинуса, поэтому вероятны ошибка в арифметике, неверные обозначения или стороны, не образующие треугольник. Пересчитай формулу и проверь неравенства треугольника: сумма любых двух сторон должна быть больше третьей.

Связь с другими темами

Для понимания теоремы косинусов нужны теорема Пифагора, свойства косинуса и обозначения элементов треугольника. Вывод формулы использует прямоугольный треугольник и проекцию стороны, поэтому опора на эти знания помогает увидеть, откуда берётся равенство. Теорема пригодится при решении треугольников, нахождении расстояний и доказательстве геометрических утверждений.

Что запомнить

• Квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
• Сторона a лежит напротив угла A; аналогично b — напротив B, c — напротив C.
• Для прямого угла теорема косинусов переходит в теорему Пифагора.
• Косинус острого угла положителен, прямого равен нулю, тупого отрицателен.
• По двум сторонам и углу между ними можно найти третью сторону.
• По трём сторонам можно найти косинус любого угла и определить его вид.