"Геометрия", Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. / Под ред. Садовничего В.А.
Решить треугольник — значит найти все его неизвестные стороны и углы по известным элементам. Для этого используют сумму углов треугольника, теорему синусов и теорему косинусов. Выбор метода зависит от того, что дано: например, известны ли две стороны и угол между ними или угол напротив одной из сторон. В некоторых случаях возможны два разных треугольника, поэтому после вычислений нужно проверять ответ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Решение треугольника — нахождение неизвестных сторон и углов по заданным элементам. Например, если известны одна сторона и два угла, можно восстановить остальные элементы фигуры. Решение нужно, чтобы перейти от неполных данных к полной картине треугольника. Заданными элементами могут быть стороны и углы.
Теорема синусов утверждает, что отношения сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны: a/sin A = b/sin B = c/sin C. Здесь сторона a лежит напротив угла A, сторона b — напротив B, а c — напротив C. Это соотношение позволяет находить стороны или углы, когда известна хотя бы одна подходящая пара. Оно особенно полезно после того, как найден один угол.
Теорема косинусов связывает квадрат одной стороны с двумя другими сторонами и косинусом угла между ними: a² = b² + c² − 2bc cos A. Угол A расположен между сторонами b и c, а сторона a лежит напротив него. Формула помогает найти третью сторону по двум сторонам и углу между ними, а также углы по трём сторонам. При прямом угле она становится теоремой Пифагора.
Неоднозначный случай решения — ситуация, когда по двум сторонам и углу, не заключённому между ними, могут получиться два разных треугольника. Причина в том, что одинаковый синус бывает у острого угла и у дополнительного к нему тупого. Поэтому вычисленное значение синуса ещё не всегда однозначно задаёт угол. Каждый возможный вариант нужно проверить по сумме углов и данным сторонам.
В треугольнике есть три стороны и три угла, но их нельзя выбирать независимо: сумма углов всегда равна 180°, а сторонам соответствуют определённые углы. Если известны три подходящих элемента и хотя бы один из них — сторона, остальные обычно определяются этими связями. Одна сторона задаёт масштаб фигуры, поэтому одних углов для нахождения длин недостаточно: треугольники с теми же углами могут быть разных размеров. При этом важно проверить, что данные совместимы и действительно задают один треугольник.
Если известны сторона и два угла, сначала вычти известные углы из 180° и найди третий. Теперь известны пары «сторона — противолежащий угол», поэтому теорема синусов позволяет найти остальные стороны. Такой порядок удобен: для применения теоремы не нужно угадывать неизвестный угол, а после его вычисления появляются нужные данные. Обычно при таком наборе элементов получается единственный треугольник.
Теорема косинусов похожа на теорему Пифагора, но работает и тогда, когда угол не прямой. В прямоугольном треугольнике косинус прямого угла равен нулю, поэтому слагаемое 2bc cos A исчезает и остаётся a² = b² + c². Если угол острый, cos A положителен, а если тупой — отрицателен; формула учитывает оба случая. Поэтому при известных двух сторонах и угле между ними по ней сначала находят третью сторону, а затем углы.
Метод выбирают по тому, какие именно данные известны. При трёх сторонах сначала проверяют, может ли существовать треугольник, а затем находят углы по теореме косинусов; при двух сторонах и угле между ними начинают с той же теоремы. Для стороны и двух углов сначала используют сумму углов и теорему синусов. Если же даны две стороны и угол напротив одной из них, теорема синусов может привести к одному, двум или ни одному треугольнику: это и есть случай, требующий дополнительной проверки.
Проверка результата — часть решения, а не формальность. Сумма найденных углов должна быть 180°, стороны должны удовлетворять неравенствам треугольника: каждая меньше суммы двух других. Также большей стороне должен противолежать больший угол. Если какое-то условие нарушено, проверь соответствие сторон и углов, вычисления и округление; иногда же сами исходные данные не позволяют построить треугольник.
| Исходные данные | Что найти первым | Основная формула или теорема | Особенности решения |
|---|---|---|---|
| Сторона и два угла | Третий угол | Сумма углов треугольника и теорема синусов | Решение обычно единственно |
| Две стороны и угол между ними | Третью сторону | Теорема косинусов, затем теорема синусов или сумма углов | Решение обычно единственно |
| Три стороны | Один из углов | Теорема косинусов | Сначала проверить неравенства треугольника |
| Две стороны и угол, не заключённый между ними | Возможные значения третьей стороны или угла | Теорема синусов | Возможны один, два или ни одного треугольника |
Сначала найди в таблице строку, которая точно совпадает с условием задачи: положение угла относительно известных сторон имеет значение. Затем выполни указанный первый шаг и проверь, появились ли данные для следующей теоремы. Если речь о двух сторонах и непротиволежащем угле, не ограничивайся первым найденным углом: проверь второй возможный вариант.
Условие. В треугольнике ABC известны углы A = 40°, B = 65° и сторона c = 12. Найти угол C и стороны a и b. По обозначениям сторона c лежит напротив угла C, поэтому известная сторона уже образует нужную пару для теоремы синусов. Сначала восстановим недостающий угол, а затем найдём длины.
По сумме углов C = 180° − 40° − 65° = 75°.
Запишем теорему синусов: a/sin 40° = b/sin 65° = 12/sin 75°. Отсюда a = 12 sin 40°/sin 75° ≈ 7,98.
Для второй стороны b = 12 sin 65°/sin 75° ≈ 11,25. Сопоставление сторон и углов разумно: угол B больше A, и сторона b тоже больше a.
Ответ: C = 75°, a ≈ 7,98, b ≈ 11,25. Значения сторон округлены до сотых, поэтому промежуточные вычисления лучше сохранять на калькуляторе без округления. Проверка суммы углов уже выполнена на первом шаге. Сторона c = 12 противолежит наибольшему углу C и оказывается наибольшей стороной.
Условие. В треугольнике ABC известны b = 7, c = 10 и угол A = 60° между этими сторонами. Найти a, B и C. Так как неизвестная сторона a лежит напротив известного угла A, сразу найдём её по теореме косинусов. После этого найдём угол B, а угол C определим по сумме.
a² = b² + c² − 2bc cos A = 49 + 100 − 140 · 0,5 = 79. Значит, a = √79 ≈ 8,89.
По теореме синусов sin B = b sin A/a = 7 sin 60°/√79 ≈ 0,682. Поэтому B ≈ 43,0°.
Остаётся C = 180° − 60° − 43,0° ≈ 77,0°. Выбираем острое значение B: сторона b меньше a, значит и угол B должен быть меньше A, что согласуется с найденным результатом.
Ответ: a = √79 ≈ 8,89, B ≈ 43,0°, C ≈ 77,0°. На шаге с синусом калькулятор может показать также дополнительный к B угол, но второй вариант здесь не подходит. При заданных b, c и A сторона a уже однозначно найдена, а сумма углов определяет оставшиеся углы. Округлённые значения углов дают сумму 180°.
Условие. Стороны треугольника равны 13, 14 и 15. Найти все углы. Сначала проверим существование: 13 + 14 больше 15, а сумма любой другой пары тоже больше оставшейся стороны. Затем последовательно применим теорему косинусов, каждый раз связывая угол с противоположной стороной.
Угол напротив стороны 13 обозначим A. cos A = (14² + 15² − 13²)/(2 · 14 · 15) = 252/420 = 0,6, поэтому A ≈ 53,1°.
Угол напротив стороны 14 обозначим B. cos B = (13² + 15² − 14²)/(2 · 13 · 15) = 198/390, поэтому B ≈ 59,5°.
Угол напротив стороны 15 обозначим C. cos C = (13² + 14² − 15²)/(2 · 13 · 14) = 140/364, поэтому C ≈ 67,4°.
Ответ: углы напротив сторон 13, 14 и 15 равны примерно 53,1°, 59,5° и 67,4° соответственно. Их сумма после округления равна 180°. Наибольшему углу соответствует наибольшая сторона, а наименьшему — наименьшая. Это подтверждает, что углы сопоставлены со сторонами правильно.
В теореме синусов иногда связывают сторону с соседним углом, а не с противолежащим. Так происходит, если ориентироваться только на буквенное обозначение и не посмотреть на чертёж или условие. Перед подстановкой назови пару вслух: сторона a лежит напротив угла A.
В теореме косинусов для стороны a используют угол не между сторонами b и c. Ошибка возникает, когда формулу запоминают без связи с расположением элементов. Проверь, что в записи a² = b² + c² − 2bc cos A угол A действительно заключён между b и c.
По найденному синусу выбирают только один угол и забывают о дополнительном угле с тем же синусом. Это особенно опасно при двух сторонах и угле, не заключённом между ними. Проверь оба возможных значения и исключи те, при которых сумма углов не равна 180° или данные стороны не подходят.
Промежуточные значения округляют слишком рано или вовсе не проверяют ответ. Небольшая погрешность при нескольких шагах может заметно изменить итоговые углы. Сохраняй больше знаков до последнего действия, а затем проверь сумму углов, неравенства треугольника и соответствие большей стороны большему углу.
Для решения треугольников нужны сумма его углов, теорема Пифагора и определения синуса и косинуса. Эти знания объясняют, откуда берутся основные формулы и как соотносятся стороны с углами. При вычислениях пригодятся калькулятор, обратные тригонометрические функции и умение округлять числа. Найденные расстояния и углы применяют в задачах на координаты, окружности и практическую геометрию — например, когда измерить нужную длину напрямую трудно.
Решить треугольник — значит найти все его неизвестные стороны и углы.
Сумма углов любого треугольника равна 180°.
В теореме синусов сторона сопоставляется с синусом противолежащего угла.
Теорема косинусов удобна при известных двух сторонах и угле между ними или трёх сторонах.
Против большей стороны лежит больший угол.
При данных двух сторонах и непротиволежащем угле возможны два решения.
Полученный результат нужно проверять геометрическим смыслом.
Как понять, какую теорему применять первой?
Посмотри, какие элементы даны. Если известны две стороны и угол между ними, сначала применяй теорему косинусов; если известны сторона и два угла — найди третий угол, а затем используй теорему синусов. При трёх известных сторонах теорема косинусов помогает найти углы.
Почему в теореме синусов сторона связана именно с противолежащим углом?
В каждом треугольнике отношение стороны к синусу угла напротив неё одинаково для всех трёх пар. Поэтому нельзя сопоставлять сторону с соседним углом: такое равенство обычно даст неверный результат. Удобно каждый раз проверять, что сторона и угол лежат напротив друг друга.
Когда теорема косинусов превращается в теорему Пифагора?
Если угол между сторонами b и c прямой, cos A = 0. Тогда формула a² = b² + c² − 2bc cos A упрощается до a² = b² + c². Это и есть теорема Пифагора.
Может ли по заданным трём элементам получиться два разных треугольника?
Да, если заданы две стороны и угол, не заключённый между ними. По теореме синусов для угла иногда получаются два значения: острый угол и дополнительный к нему тупой, оба с тем же синусом. Нужно проверить, подходит ли каждый угол к сумме углов треугольника и данным сторонам.
Как проверить, что найденные стороны и углы действительно образуют треугольник?
Углы должны быть положительными и в сумме давать 180°, а каждая сторона должна быть меньше суммы двух остальных. Кроме того, большей стороне должен противолежать больший угол. Эти проверки помогают заметить ошибки в вычислениях и округлении.
75. Решение треугольников
