76*. О построении треугольника по трём сторонам

Определения и обозначения

Построение треугольника по трём сторонам — это задача, в которой заданы длины трёх отрезков и требуется с помощью линейки и циркуля начертить треугольник с такими сторонами. Линейкой проводят прямые и откладывают отрезки, циркулем переносят длины и проводят окружности. Перед построением нужно выяснить, могут ли заданные длины быть сторонами треугольника. Это позволяет не выполнять построение, которое заведомо не даст нужной фигуры.

Неравенство треугольника — условие, согласно которому каждая сторона треугольника меньше суммы двух других: a < b + c, b < a + c, c < a + b. Оно следует из того, что прямая между двумя точками короче ломаной, соединяющей те же точки. Для проверки достаточно взять самую длинную сторону: если она меньше суммы двух остальных, выполняются и два других неравенства. Это условие помогает решить, существует ли треугольник с заданными длинами.

Окружность с заданным центром и радиусом состоит из точек, которые находятся от центра на одинаковом расстоянии, равном радиусу. Поэтому, если вершина должна быть удалена от известной точки на заданную длину, её можно искать на окружности с центром в этой точке. В построении по трём сторонам используют две такие окружности, ведь для третьей вершины одновременно заданы расстояния до двух концов основания. Их общая точка удовлетворяет обоим условиям.

Как это устроено

Условие на стороны возникает из свойства кратчайшего расстояния. Если пройти от одной вершины до другой через третью, получится ломаная из двух сторон, а напрямую их соединяет третья сторона. Прямая не может быть длиннее такой ломаной, причём для настоящего треугольника вершины не лежат на одной прямой, поэтому сумма двух сторон строго больше третьей. Это объясняет, почему равенства недостаточно для существования треугольника.

Для быстрой проверки выбирают наибольшую длину, например c, и сравнивают её с суммой двух остальных: c < a + b. Если это верно, то a меньше c + b, а b меньше c + a, поскольку к наибольшей стороне прибавляется положительная длина. Таким образом, проверка одного неравенства заменяет проверку всех трёх. Если же c ≥ a + b, построить обычный треугольник нельзя.

Затем одну из заданных сторон выбирают основанием и откладывают её отрезок. Его концы становятся двумя вершинами будущего треугольника, а длина основания уже точно совпадает с одной из заданных сторон. Выбор другой стороны в качестве основания не меняет задачу: можно построить ту же фигуру, только начать с другого отрезка. Удобнее выбрать длину, которую легко отложить и обозначить.

Третья вершина должна находиться на заданном расстоянии от каждого конца основания. Все точки на расстоянии, равном первой оставшейся стороне, лежат на окружности с центром в одном конце основания; для второй стороны строят окружность с центром в другом конце. Поэтому вершину ищут там, где окружности пересекаются. Их общая точка одновременно находится на нужном расстоянии от обоих концов.

Если неравенство треугольника выполнено, окружности пересекаются в двух точках, расположенных по разные стороны основания. Соединив любую из них с концами отрезка, получают треугольник с тремя требуемыми длинами. Второй треугольник является зеркальным отражением первого относительно основания, а значит, соответствующие стороны у них равны. По признаку равенства треугольников по трём сторонам они равны, поэтому отдельной по форме фигуры второе положение не создаёт.

Проверка и построение треугольника по трём сторонам

Пользуйся таблицей по порядку: сначала проверь длины, а затем переходи к циркулю и линейке. При построении сверяй радиус каждой окружности с соответствующей стороной. Две точки пересечения означают два расположения одной и той же по форме фигуры.

Разбор задач

1. Построить треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см.

Сначала проверим, допустимы ли такие длины. Наибольшая сторона равна 5 см, а сумма двух остальных — 3 + 4 = 7 см, поэтому условие существования выполняется. Возьмём сторону 5 см за основание: тогда расстояния до его концов должны быть 3 см и 4 см.

1. Линейкой отложим отрезок AB длиной 5 см. Его концы будут двумя вершинами искомого треугольника. Проверим, что именно эта длина выбрана как основание.
2. Циркулем проведём окружность с центром A и радиусом 3 см, затем окружность с центром B и радиусом 4 см. Радиусы соответствуют двум оставшимся сторонам. Их пересечение обозначим C.
3. Соединим C с A и B. По построению AC = 3 см, BC = 4 см, AB = 5 см, поэтому получен нужный треугольник. Второе пересечение окружностей даёт такой же треугольник по другую сторону AB.

Ответ: построение возможно; стороны треугольника равны 3 см, 4 см и 5 см.

2. Можно ли построить треугольник со сторонами 2 см, 3 см и 6 см? Обосновать ответ.

Найдём наибольшую сторону — это 6 см. Сумма двух оставшихся сторон равна 2 + 3 = 5 см, то есть меньше 6 см. Уже это противоречит неравенству треугольника, поэтому окружности для третьей вершины не дадут подходящего пересечения.

1. Сравним наибольшую сторону с суммой двух меньших: 6 < 2 + 3. Нужно, чтобы неравенство было верным, но вместо этого получаем 6 < 5, что неверно.
2. Предположим, что треугольник построен. Тогда две короткие стороны должны соединить концы стороны длиной 6 см ломаной длиной 5 см. Такая ломаная короче прямого отрезка между теми же концами, что невозможно.

Ответ: нет, построить треугольник нельзя, поскольку 2 + 3 < 6.

3. Построить треугольник со сторонами 4 см, 5 см и 7 см и объяснить единственность с точностью до наложения.

Проверим наибольшую сторону: 7 см меньше суммы 4 + 5 = 9 см, значит, треугольник существует. Построим основание длиной 7 см и будем искать вершину, удалённую от его концов на 4 см и 5 см. Пересечение соответствующих окружностей даст нужные положения вершины.

1. Отложим отрезок AB = 7 см. Это основание и одна сторона искомого треугольника. Обозначения нужны, чтобы не перепутать центры окружностей.
2. Проведём окружность с центром A и радиусом 4 см и окружность с центром B и радиусом 5 см. Их точку пересечения обозначим C и соединим C с A и B. Тогда AC = 4 см, BC = 5 см и AB = 7 см.
3. Если окружности пересекаются ещё в точке C′, она расположена по другую сторону основания. Треугольники ABC и ABC′ имеют одинаковые три стороны. По признаку равенства по трём сторонам они равны и совпадут при наложении.

Ответ: построение возможно; треугольник единственен с точностью до наложения, хотя его можно расположить по разные стороны основания.

Типичные ошибки

• Проверять только одно неравенство, не выяснив, самая ли длинная сторона в нём участвует. Так можно пропустить условие, которое не выполняется для другой стороны. Для проверки найди наибольшую длину и сравни её с суммой двух меньших.

• Считать, что равенства суммы двух сторон третьей достаточно. Такое случается, когда проверяющий забывает, что вершины должны образовывать настоящую фигуру, а не лежать на одной прямой. При равенстве получается вырожденный случай, поэтому сравнение должно быть строгим.

• Строить окружности с радиусами, не соответствующими сторонам. Причина обычно в том, что длины перепутаны при выборе основания и оставшихся сторон. До проведения окружностей запиши, какой радиус должен отложить каждый центр, а затем сверь расстояния по точкам.

• Принимать два зеркально симметричных положения вершины за треугольники разной формы. Это происходит потому, что на чертеже они выглядят по-разному из-за расположения по разные стороны основания. Сравни три стороны: если они попарно равны, треугольники равны по трём сторонам и отличаются только положением.

Связь с другими темами

Для построения нужно уметь откладывать отрезок заданной длины, проводить окружность с заданным центром и радиусом и находить пересечения окружностей. Существование треугольника проверяют с помощью неравенства треугольника, а совпадение результатов — с помощью признака равенства по трём сторонам. Эти знания пригодятся в задачах на геометрические построения и в доказательствах того, что фигура определяется заданными элементами. Так построение связывает практическую работу циркулем с доказательствами.

Что запомнить

• Треугольник существует, если сумма любых двух его сторон больше третьей.
• Для проверки достаточно сравнить наибольшую сторону с суммой двух остальных.
• Одну из заданных сторон принимают за основание.
• Третью вершину находят как точку пересечения двух окружностей.
• Радиусы окружностей равны двум оставшимся сторонам.
• Треугольник по трём сторонам определяется однозначно с точностью до наложения.