77*. Взаимное расположение двух окружностей

Определения и обозначения

Окружность — это множество точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от одной точки, называемой центром. Расстояние от центра до любой точки окружности — её радиус. Для двух окружностей обозначим их радиусы R и r, а расстояние между центрами — d. Эти три величины нужны, чтобы сравнить окружности и определить их взаимное положение.

Общими точками окружностей называют точки, которые принадлежат обеим окружностям одновременно. Если окружности имеют одну общую точку, говорят, что они касаются; если две — пересекаются. При касании в точке окружности имеют общую касательную, а линия центров проходит через эту точку. По числу общих точек удобно описывать, как окружности расположены относительно друг друга.

Внешнее касание происходит, когда окружности лежат по разные стороны от общей точки; внутреннее — когда одна расположена внутри другой. Если центры не совпадают, у окружностей может быть ноль, одна или две общие точки. Особый случай — совпадение окружностей: их центры и радиусы равны, поэтому каждая точка одной окружности принадлежит другой.

Как это устроено

Представим, что центры окружностей соединены отрезком длины d. Самая короткая дистанция между окружностями на внешней стороне получается, когда расстояние между центрами меньше суммы радиусов: если d < R + r, окружности могут дотянуться друг до друга. При d = R + r они соприкасаются в одной точке, а при d > R + r между ними остаётся промежуток. Поэтому сумма радиусов задаёт границу внешнего касания.

Для внутреннего положения сравнивают d с разностью радиусов. Пусть R — больший радиус, а r — меньший. Чтобы меньшая окружность целиком оказалась внутри большей и не достигла её, расстояние между центрами должно быть меньше R − r. Если d = R − r, меньшая окружность касается большей изнутри. При d > R − r она уже выходит за пределы большей и, пока d < R + r, пересекает её в двух точках.

Из этих сравнений следуют все случаи при несовпадающих центрах. При d > R + r общих точек нет; равенство d = R + r означает внешнее касание. Между разностью и суммой радиусов, то есть при R − r < d < R + r, есть две общие точки. При d = R − r окружности касаются изнутри, а при d < R − r одна лежит внутри другой без пересечения. Такой разбор работает и при равных радиусах: тогда разность равна нулю.

Если d = 0, центры совпадают, поэтому сравнение с разностью радиусов нужно трактовать отдельно. При разных радиусах окружности концентрические: точки меньшей окружности не лежат на большей, и общих точек нет. Если же радиусы тоже равны, окружности совпадают полностью. Тогда общих точек бесконечно много, а не одна или две, поэтому этот случай не входит в обычный разбор для разных центров.

Условия взаимного расположения окружностей

В таблице R — больший радиус, r — меньший, а d — расстояние между центрами; знаки равенства показывают случаи касания. Сначала найдите сумму и разность радиусов, затем поместите d между этими границами или сравните с ними. Отдельно проверьте, не совпадают ли центры: при d = 0 возможен случай совпадения окружностей.

Разбор задач

Задача. Радиусы двух окружностей равны 8 см и 3 см, а расстояние между их центрами — 6 см. Определите взаимное расположение окружностей и число общих точек. Не будем полагаться только на рисунок: даже если окружности кажутся близкими, точный ответ дают сравнения расстояний. Больший радиус обозначим R, меньший — r.

1. Запишем известные величины: R = 8 см, r = 3 см, d = 6 см. Центры не совпадают, поскольку d больше нуля. Поэтому случай совпадающих или концентрических окружностей здесь не подходит.

2. Найдём сумму радиусов: R + r = 8 + 3 = 11 см. Расстояние d меньше этой суммы: 6 < 11. Значит, окружности не расположены отдельно друг от друга с промежутком; они могут пересечься или одна может оказаться внутри другой.

3. Теперь найдём разность радиусов: R − r = 8 − 3 = 5 см. Получаем 5 < 6 < 11, то есть разность радиусов меньше d, а d меньше их суммы. Это как раз условие пересечения двух окружностей в двух точках.

4. Проверим смысл результата: меньшая окружность не помещается целиком внутри большей без пересечения, потому что расстояние между центрами превышает разность радиусов. При этом окружности ещё не разошлись, так как d меньше суммы радиусов. Следовательно, границы окружностей пересекаются дважды.

Ответ: окружности пересекаются в двух точках.

Типичные ошибки

• Путают радиусы и расстояние между центрами, подставляя вместо d расстояние между ближайшими точками окружностей. Ошибка возникает, если смотреть только на чертёж, а не на обозначения в условии. Проверьте себя: d измеряется именно между центрами, а радиус — от центра до окружности.

• Считают, что при d меньше суммы радиусов окружности обязательно пересекаются. Это не так: меньшая окружность может находиться внутри большей, если d меньше разности радиусов. Сравните d и с суммой, и с разностью радиусов.

• Забывают, что равенство означает касание, а не пересечение в двух точках. При d = R + r или d = |R − r| есть только одна общая точка. Проверка проста: сначала ищите строгие неравенства, а затем отдельно рассматривайте случаи равенства.

• Не проверяют случай d = 0 и ошибочно относят совпадающие окружности к обычному пересечению. Такое случается, когда применяют таблицу, не сравнив центры. Если d = 0, дополнительно сравните радиусы: равные окружности совпадают, разные не имеют общих точек.

Связь с другими темами

Задачи о расположении окружностей опираются на понятия центра, радиуса и расстояния между точками. Сравнение суммы и разности радиусов связано с неравенствами треугольника: если окружности пересекаются, центры и точка пересечения образуют треугольник со сторонами R, r и d. Касание соответствует вырожденному случаю, когда эти три точки лежат на одной прямой. Тема также помогает решать задачи о касательных и строить геометрические фигуры по заданным расстояниям.

Что запомнить

• Чтобы определить взаимное положение, нужны радиусы R и r и расстояние d между центрами.
• Сумма радиусов задаёт условие внешнего касания: d = R + r.
• Разность радиусов задаёт условие внутреннего касания: d = |R − r|.
• Если |R − r| < d < R + r, окружности пересекаются в двух точках.
• При совпадающих центрах сравните радиусы отдельно: равные окружности совпадают, разные не имеют общих точек.