§ 18. Взаимное расположение двух окружностей

Определения и обозначения

Взаимное расположение двух окружностей — положение окружностей относительно друг друга, определяемое числом их общих точек. Оно помогает понять, пересекаются ли окружности, касаются или расположены отдельно. Для ответа не всегда нужен точный чертёж: достаточно сравнить расстояние между центрами и радиусы. Радиусы будем обозначать R и r, а расстояние между центрами — d.

Общие точки окружностей — точки, принадлежащие одновременно обеим окружностям. Их может быть ноль, одна или две; если окружности совпадают, общих точек бесконечно много. Подсчёт общих точек позволяет точно назвать положение окружностей. Например, одна общая точка означает касание, а две — пересечение.

Внешнее касание — положение, при котором окружности имеют одну общую точку и лежат вне друг друга. Их центры и точка касания располагаются на одной прямой, а расстояние между центрами равно сумме радиусов. Это определение нужно, чтобы отличать касание снаружи от пересечения или касания изнутри.

Внутреннее касание — положение, при котором одна окружность находится внутри другой и они имеют одну общую точку. Центры и точка касания лежат на одной прямой, но расстояние между центрами равно разности радиусов по модулю. Такое описание помогает не перепутать внутреннее касание с расположением окружностей без общих точек.

Как это устроено

Чтобы определить положение окружностей, сравнивают d с суммой радиусов R + r и модулем их разности |R − r|. Причина в том, что расстояние между центрами ограничивает расстояние между точками окружностей: ближе всего к другому центру лежит ближайшая точка окружности, а дальше всего — наиболее удалённая. Сумма радиусов задаёт границу внешнего соприкосновения, а разность — границу внутреннего. Поэтому двух сравнений достаточно, чтобы установить число общих точек.

Если окружности пересекаются в двух точках, выполняется |R − r| < d < R + r. При таких значениях расстояния окружности успевают сблизиться настолько, чтобы пересечься, но ещё не настолько, чтобы одна целиком оказалась внутри другой. Представьте, что одна окружность движется к другой: сначала между ними есть промежуток, затем они соприкасаются, после чего пересекаются в двух точках. Когда расстояние становится равным разности радиусов, две точки снова сливаются в одну.

При внешнем касании d = R + r, потому что центры находятся по разные стороны от единственной точки соприкосновения. Расстояние между центрами складывается из расстояний от каждого центра до этой точки, то есть из двух радиусов. При внутреннем касании d = |R − r|: оба центра и точка касания расположены так, что один радиус покрывает часть другого. Модуль нужен потому, что радиус внутренней окружности может быть как меньше, так и больше радиуса внешней, если обозначения заранее не упорядочены.

Если d > R + r, центры удалены настолько, что даже самые близкие точки окружностей не соприкасаются. Если же 0 < d < |R − r|, расстояние между центрами слишком мало для пересечения: меньшая окружность полностью помещается внутри большей. В обоих случаях общих точек нет, но расположение различается — снаружи или внутри. Разделение этих случаев важно, потому что одного ответа «не пересекаются» недостаточно для полного описания положения.

При d = 0 центры совпадают, поэтому окружности концентрические. Если радиусы различны, одна окружность расположена внутри другой и общих точек нет: расстояние от общего центра до окружности всегда равно её радиусу. Если радиусы равны, каждая точка одной окружности принадлежит и другой, поэтому окружности совпадают. Этот отдельный случай нельзя определить только по правилам касания, где требуется d > 0.

Взаимное расположение окружностей

Сначала найдите сумму радиусов и модуль их разности, затем сравните с ними d. Равенства указывают на касание, а строгие неравенства — на расположение между граничными случаями. При d = 0 отдельно проверьте, равны ли радиусы.

Разбор задач

Задача 1

Радиусы окружностей равны 3 см и 5 см, расстояние между центрами — 9 см. Определите их взаимное расположение. Нужно выяснить, достигают ли окружности друг друга: для этого сравним расстояние между центрами с суммой радиусов. Равенство означало бы касание, а расстояние больше суммы — отсутствие общих точек снаружи.

1. Обозначим радиусы: R = 5 см, r = 3 см, а расстояние между центрами d = 9 см.
2. Найдём сумму радиусов: R + r = 5 + 3 = 8 см.
3. Сравним: 9 см > 8 см, то есть d > R + r. Центры дальше друг от друга, чем сумма радиусов, поэтому окружности не соприкасаются.

Ответ: окружности лежат вне друг друга и не имеют общих точек.

Задача 2

Радиусы окружностей равны 4 см и 7 см. При каких значениях расстояния между центрами окружности пересекаются в двух точках? Для двух точек требуется, чтобы расстояние было строго между разностью и суммой радиусов. Строгость здесь важна: на каждой границе окружности только касаются.

1. Запишем условие пересечения: |R − r| < d < R + r.
2. Подставим радиусы: |7 − 4| < d < 7 + 4.
3. Вычислим границы: 3 < d < 11. Значит, расстояние должно быть больше 3 см и меньше 11 см; сами граничные значения не подходят.

Ответ: окружности пересекаются в двух точках при 3 см < d < 11 см.

Задача 3

Одна окружность имеет радиус 8 см, а расстояние между центрами окружностей равно 3 см. При каком радиусе второй окружности окружности будут касаться внутренним образом? При таком касании расстояние равно разности радиусов, взятой по модулю. Нужно учесть, что неизвестная окружность может быть как меньше, так и больше окружности радиуса 8 см.

1. Обозначим неизвестный радиус через r. Для внутреннего касания должно выполняться |8 − r| = 3.
2. Если r < 8, то 8 − r = 3, откуда r = 5 см. Эта окружность меньше первой и касается её изнутри.
3. Если r > 8, то r − 8 = 3, откуда r = 11 см. Теперь окружность радиуса 8 см находится внутри окружности радиуса 11 см и касается её.
4. Проверим оба варианта: разность радиусов в каждом случае равна 3 см, то есть расстоянию между центрами. Значит, оба удовлетворяют условию.

Ответ: радиус второй окружности может быть 5 см или 11 см.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что при d = R + r окружности пересекаются в двух точках. Такое рассуждение возникает, если равенство принимают за промежуточное положение. Но сумма радиусов — граница, на которой окружности соприкасаются снаружи в одной точке. Проверьте себя: при внешнем касании точки соприкосновения одна, а не две.

Ошибка: использовать нестрогое неравенство для двух точек пересечения. Например, запись |R − r| ≤ d ≤ R + r включает значения, при которых окружности касаются. На каждой границе две точки становятся одной общей точкой. Проверяйте знаки: для пересечения нужны именно |R − r| < d < R + r.

Ошибка: при внутреннем касании записывать разность радиусов без модуля. Её допускают, когда заранее считают один радиус большим, но при произвольных обозначениях R и r разность может оказаться отрицательной. Расстояние между центрами не бывает отрицательным, поэтому используют |R − r|. Самопроверка: перестановка названий радиусов не должна менять условие.

Ошибка: забывать случай d = 0. Если центры совпадают, обычные условия касания не описывают положение окружностей, а равные центры ещё не означают, что окружности совпадают. Сравните радиусы: при разных радиусах общих точек нет, при равных окружности совпадают. Поэтому после сравнения расстояния с суммой и разностью отдельно проверьте ноль.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны знания об окружности, её центре и радиусе, а также умение находить расстояние между точками. Радиус показывает расстояние от центра до любой точки окружности, а расстояние между центрами помогает сравнить положение окружностей. Если внимательно обозначить эти величины, условия касания и пересечения можно записать без сложного чертежа.

Правила пригодятся в задачах на построение окружностей и поиск их общих точек. При проверке возможности пересечения полезно неравенство треугольника: длины сторон треугольника связаны строгими неравенствами, и расстояния между центрами и точками окружностей подчиняются похожему ограничению. Это помогает объяснить, почему для двух точек пересечения расстояние между центрами должно лежать между разностью и суммой радиусов.

Что запомнить

• Обозначим радиусы окружностей через R и r, а расстояние между центрами — через d.
• Две общие точки есть при |R − r| < d < R + r.
• Внешнее касание происходит при d = R + r.
• Внутреннее касание происходит при d = |R − r| и d > 0.
• Если d > R + r, окружности не имеют общих точек и лежат вне друг друга.
• Если 0 < d < |R − r|, меньшая окружность находится внутри большей без общих точек.
• При d = 0 окружности концентрические; если радиусы равны, они совпадают.