§ 19. Геометрические места точек

Определения и обозначения

Геометрическое место точек (ГМТ) — множество всех точек, обладающих заданным свойством. Например, можно говорить обо всех точках, которые находятся на одинаковом расстоянии от двух выбранных точек. Точки, не обладающие этим свойством, в ГМТ не входят, даже если находятся совсем близко к нему.

ГМТ точек, равноудалённых от двух данных точек, — серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему их. Это прямая, проходящая через середину отрезка под прямым углом. Такое описание позволяет заменить длинный список подходящих точек одной прямой и использовать её при построениях.

ГМТ точек внутри угла, равноудалённых от его сторон, — биссектриса угла. Биссектриса делит угол на два равных угла, а расстояние до стороны измеряют по перпендикуляру к прямой, содержащей эту сторону. Это свойство помогает находить точки, одинаково удалённые от обеих сторон.

ГМТ точек, находящихся на заданном расстоянии от данной точки, — окружность с центром в этой точке и радиусом, равным заданному расстоянию. Например, все точки на расстоянии 3 см от C образуют окружность с центром C и радиусом 3 см. Точки внутри неё находятся от C на меньшем расстоянии, поэтому в такое ГМТ не входят.

Как это устроено

У одного свойства может быть очень много подходящих точек, и перечислить их по одной обычно невозможно. Поэтому вместо списка мы ищем фигуру, состоящую ровно из всех точек с этим свойством. Такая фигура и есть геометрическое описание множества. С ним проще выполнять построения, проверять принадлежность точки и находить пересечения с другими фигурами.

Рассмотрим отрезок AB и точку P на его серединном перпендикуляре. Перпендикуляр делит AB пополам, поэтому отрезки от P до A и от P до B являются сторонами двух прямоугольных треугольников с равными катетами: общей высотой и половинами AB. Эти треугольники равны, значит PA = PB. Обратно, если PA = PB, треугольник APB равнобедренный; медиана, проведённая из P к основанию AB, одновременно является высотой. Следовательно, P лежит на прямой, которая проходит через середину AB под прямым углом, то есть на серединном перпендикуляре.

Пусть точка P находится внутри угла, а расстояния от неё до сторон равны. Опустим из P перпендикуляры на прямые, содержащие стороны: их длины равны по условию. Получаются прямоугольные треугольники с общей гипотенузой от вершины угла до P и равными катетами, поэтому они равны. Значит, P одинаково расположена относительно обеих сторон и лежит на биссектрисе. В обратную сторону рассуждение тоже работает: точка на биссектрисе образует равные углы с её сторонами, а опущенные на стороны перпендикуляры дают равные прямоугольные треугольники. Поэтому расстояния до сторон равны.

Если точка находится на расстоянии r от центра C, то длина отрезка от C до неё равна r. Все такие отрезки — радиусы одной окружности, а их концы образуют окружность. Внутренние точки не подходят: расстояние от них до C меньше r, тогда как условие требует ровно r. Поэтому ГМТ задаёт окружность, а не весь круг.

Когда точка должна удовлетворять двум условиям, каждое из них задаёт своё ГМТ. Искомая точка обязана принадлежать обоим множествам одновременно, поэтому она может находиться только в их пересечении. Если фигуры пересекаются в двух точках, подходят обе; если не пересекаются — решений нет. Проверка принадлежности каждому множеству подтверждает оба условия сразу.

Основные геометрические места точек

Чтобы пользоваться таблицей, сначала выдели условие задачи, а затем найди соответствующее ему ГМТ. Если условий несколько, построй фигуру для каждого из них и отметь их общие точки. Помни, что расстояние до прямой измеряется по перпендикуляру, а расстояние ровно r от центра задаёт именно окружность.

Разбор задач

Задача 1. Равноудалённые от двух точек

Даны точки A и B. Построим геометрическое место точек, равноудалённых от A и B. Так как условие содержит две точки и требует равных расстояний до них, применяем свойство серединного перпендикуляра. Нужно не только назвать эту прямую, но и обосновать, что она даёт все подходящие точки.

1. Соедини A и B отрезком AB и найди его середину M.
2. Через M проведи прямую, перпендикулярную AB. Это серединный перпендикуляр.
3. Любая точка P на этой прямой равноудалена от A и B: прямоугольные треугольники AMP и BMP равны.
4. Если точка равноудалена от A и B, треугольник с вершинами A, B и этой точкой равнобедренный, а высота к AB проходит через M. Значит, точка лежит на построенной прямой.

Ответ: серединный перпендикуляр к AB. Он содержит все подходящие точки, и других точек с этим свойством вне прямой нет.

Задача 2. Точки внутри угла на расстоянии 2 см от сторон

Требуется построить точки внутри угла, удалённые от обеих сторон на 2 см. Важно, что расстояние до стороны — это длина перпендикуляра к прямой, содержащей сторону, а не длина наклонного отрезка. Для каждой стороны условие задаёт параллельную ей прямую на расстоянии 2 см. Из двух возможных сторон такой параллельной прямой выбираем ту, которая лежит внутри угла.

1. На каждой стороне угла отметь направление внутрь угла и построй прямую, параллельную этой стороне на расстоянии 2 см.
2. Проверь, что расстояние между каждой стороной угла и проведённой параллельной прямой измерено по перпендикуляру.
3. Найди точку пересечения двух построенных прямых. Она лежит внутри угла и удалена от каждой стороны на 2 см.
4. Другой внутренней точки нет: условие для обеих сторон задаёт именно эти параллельные прямые, а две прямые пересекаются в одной точке.

Ответ: точка пересечения внутренних параллельных прямых, проведённых к сторонам угла на расстоянии 2 см.

Задача 3. Два условия для точки X

Точка X должна быть равноудалена от A и B и находиться на расстоянии 3 см от C. Первое условие задаёт прямую, второе — окружность. Чтобы найти все варианты, строим каждое ГМТ отдельно, а затем ищем их общие точки. Так мы учитываем оба условия одновременно, а не проверяем их по очереди для случайных точек.

1. Построй серединный перпендикуляр к AB. Каждая его точка равноудалена от A и B.
2. Построй окружность с центром C и радиусом 3 см. Каждая её точка находится от C ровно на 3 см.
3. Отметь точки пересечения прямой и окружности. Каждая из них принадлежит обоим ГМТ.
4. Других решений нет: всякая подходящая точка обязана лежать и на серединном перпендикуляре, и на окружности, то есть быть точкой их пересечения.

Ответ: все точки пересечения серединного перпендикуляра к AB с окружностью радиуса 3 см и центром C. В зависимости от расположения фигур таких точек может быть две, одна или ни одной.

Типичные ошибки

Иногда ГМТ принимают за одну точку или за небольшой набор точек. Так происходит, если рассматривают лишь несколько примеров и забывают, что одному свойству может соответствовать бесконечно много точек. Проверь себя: спроси, описывает ли найденная фигура все возможные положения точки, а не только те, что ты отметил на чертеже.

Окружность часто путают с кругом. Это случается потому, что в быту их названия используют как взаимозаменяемые, но условие «на расстоянии r» означает ровно r и задаёт окружность, а «не дальше r» допускает и меньшие расстояния, то есть задаёт круг. Для проверки сравни расстояние от центра до внутренней точки с радиусом: оно меньше r, значит, эта точка не принадлежит окружности.

Расстояние от точки до стороны угла иногда измеряют по наклонному отрезку. Такую ошибку допускают, когда мысленно считают расстоянием любой отрезок, соединяющий точку со стороной. Проведи из точки перпендикуляр к прямой, содержащей сторону: именно его длина является расстоянием и используется при построении.

Можно найти точки, удовлетворяющие условию, и не доказать, что других нет. Обычно это происходит, когда проверяют только, что отмеченные точки подходят, но не рассматривают обратное утверждение. Для самопроверки докажи обе части: найденные точки обладают нужным свойством, а любая точка с этим свойством обязательно лежит на построенном ГМТ или в пересечении ГМТ.

Связь с другими темами

Для построений ГМТ пригодятся знакомые понятия: перпендикуляр, середина отрезка, биссектриса и окружность. Умение различать расстояние до точки и до прямой помогает правильно применять эти понятия. Если чертёж выглядит убедительно, всё равно полезно обосновать построение свойствами фигур.

ГМТ связывают геометрическое условие с конкретной фигурой и помогают решать задачи на пересечение условий. Например, серединный перпендикуляр и окружность вместе могут задать несколько возможных положений точки. Такой подход превращает словесное описание задачи в понятное построение.

Дальше рассуждения о ГМТ пригодятся при изучении окружностей, их касательных и построения геометрических фигур. В этих задачах часто нужно определить точки, обладающие несколькими свойствами, а затем проверить, все ли варианты найдены. Поэтому важно уметь строить множество и доказывать его полноту.

Что запомнить

• ГМТ — все точки, удовлетворяющие одному заданному свойству.
• Точки, равноудалённые от концов отрезка, лежат на его серединном перпендикуляре.
• Точки биссектрисы угла равноудалены от его сторон.
• Расстояние от точки до прямой измеряется по перпендикуляру.
• Точки на расстоянии r от центра образуют окружность радиуса r.
• Пересечение ГМТ задаёт точки, одновременно удовлетворяющие нескольким условиям.