"Геометрия", Козлова С.А., Рубин А.Г., Гусев В.А.
Геометрическое место точек — это все точки, для которых выполняется одно и то же условие, и только они. По условию можно узнать фигуру: например, все точки на расстоянии 3 см от точки O образуют окружность. Равноудалённые от концов отрезка точки лежат на его серединном перпендикуляре, а точки внутри угла, равноудалённые от его сторон, — на биссектрисе. Такие фигуры помогают строить решения задач: если условий несколько, ищут пересечения соответствующих геометрических мест.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Геометрическое место точек (ГМТ) — множество всех точек, удовлетворяющих заданному условию, и только этих точек. Представь, что условие служит фильтром: оно оставляет подходящие точки и отбрасывает остальные. ГМТ помогает заменить длинное описание точек знакомой геометрической фигурой.
Окружность — ГМТ точек плоскости, находящихся на заданном расстоянии от одной точки. Эту точку называют центром, а расстояние — радиусом. Например, окружность радиуса 3 см с центром O состоит из всех точек, удалённых от O ровно на 3 см, а не меньше и не больше.
Серединный перпендикуляр к отрезку — прямая, которая перпендикулярна отрезку и проходит через его середину. Это также ГМТ точек, равноудалённых от концов отрезка. Такое определение позволяет заменить условие о равных расстояниях построением одной прямой.
Биссектриса угла — луч, делящий угол на два равных угла. Точки внутри угла, лежащие на биссектрисе, равноудалены от его сторон. Поэтому биссектрису можно найти не только делением угла пополам, но и по условию о расстояниях до сторон.
Чтобы задать ГМТ, недостаточно привести несколько подходящих точек: их может быть бесконечно много. Нужно назвать условие, общее для каждой точки множества, и установить, что никаких других точек в него не входит. Поэтому доказательство состоит из двух направлений: подходящая точка обязательно принадлежит найденной фигуре, и каждая точка этой фигуры подходит под условие. Без первой части можно пропустить решения, а без второй — включить лишние точки.
Пусть расстояние от точки до фиксированной точки O всегда равно r. Все такие точки лежат на окружности с центром O и радиусом r, потому что окружность как раз состоит из точек на этом расстоянии. И наоборот, любая точка этой окружности удалена от O ровно на r. Если взять точки на меньшем расстоянии, они окажутся внутри окружности; на большем — снаружи, поэтому они условию не подходят.
Рассмотрим точку P, равноудалённую от концов отрезка AB: значит, PA = PB. Тогда треугольник APB равнобедренный, а его основание — AB. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая из вершины P к основанию, проходит через середину основания и перпендикулярна ему; следовательно, P лежит на серединном перпендикуляре к AB. Обратно, если P лежит на этой прямой, то она проходит через середину AB и перпендикулярна AB, поэтому прямоугольные треугольники с катетами от середины до A и B равны, а PA = PB.
Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Поэтому равноудалённость точки внутри угла от его сторон означает равенство именно двух таких перпендикуляров, а не расстояний, измеренных вдоль сторон. Если расстояния равны, прямоугольные треугольники с общей гипотенузой от вершины угла до точки и равными катетами равны. Значит, точка образует равные углы со сторонами и лежит на биссектрисе; верно и обратное.
В задачах условие часто переводят в язык ГМТ: сначала выясняют, какая фигура содержит все точки, подходящие под каждое отдельное требование. Если нужно выполнить два условия одновременно, искомая точка должна находиться сразу на двух фигурах. Поэтому решения ищут в их пересечении: в зависимости от положения фигур пересечений может быть две, одна или ни одной.
Таблица связывает условие задачи с фигурой, на которой находятся все подходящие точки. При решении сначала распознай условие в первом столбце, затем выбери соответствующее ГМТ во втором. Последний столбец напоминает, что нужно проверить, чтобы не потерять решения и не добавить лишние точки.
| Условие для точки | Геометрическое место точек | Что важно проверить |
|---|---|---|
| Находится на заданном расстоянии r от точки O | Окружность с центром O и радиусом r | Учитываются все точки окружности, а не только её часть |
| Равноудалена от концов отрезка AB | Серединный перпендикуляр к AB | Равенство расстояний выполняется для каждой точки прямой и только для них |
| Находится внутри угла и равноудалена от его сторон | Биссектриса угла | Расстояния до сторон измеряются по перпендикулярам |
Нужно найти все точки, расстояние от которых до O составляет ровно 3 см. Это не отдельная точка и не вся область вокруг O: условие задаёт окружность с центром O. Построим её циркулем, используя длину 3 см как радиус.
Отметьте точку O и измерьте на линейке отрезок длиной 3 см. Это будет радиус будущей окружности.
Установите раствор циркуля равным 3 см и поставьте его иглу в точку O. Проведите линию, не меняя раствора циркуля.
Проверьте построение: каждая точка полученной линии находится от O на расстоянии 3 см, и любая точка на таком расстоянии лежит на этой линии.
Ответ: окружность с центром O и радиусом 3 см.
Искомая точка должна находиться на одинаковом расстоянии от A и B. По свойству ГМТ все такие точки лежат на серединном перпендикуляре к AB, поэтому надо построить именно прямую, а не только середину отрезка. Для её построения достаточно найти середину AB и провести через неё перпендикуляр.
Постройте серединный перпендикуляр к AB циркулем и линейкой: из A и B проведите дуги одинакового радиуса, большего половины AB.
Дуги пересекутся в двух точках. Проведите через них прямую: она перпендикулярна AB и проходит через его середину.
Проверьте результат по свойству: любая точка этой прямой одинаково удалена от A и B, а точка вне прямой такого равенства не имеет.
Ответ: серединный перпендикуляр к отрезку AB.
Здесь действуют сразу два требования, поэтому одно ГМТ не даст полного ответа. Первое требование задаёт окружность с центром O и радиусом 4 см; второе — серединный перпендикуляр к AB. Точка P должна принадлежать обеим фигурам, значит, остаётся найти их общие точки.
Постройте окружность с центром O и радиусом 4 см: на ней находятся все точки, подходящие под первое условие.
Постройте серединный перпендикуляр к AB: на нём находятся все точки, равноудалённые от A и B.
Отметьте точки пересечения окружности и прямой. Каждая такая точка удовлетворяет обоим условиям; если пересечений нет, решений нет.
Ответ: точки пересечения окружности с центром O радиуса 4 см и серединного перпендикуляра к AB.
Перечислить несколько подходящих точек и назвать их ГМТ. Это ошибка, потому что примеры не показывают, что найдены все возможные точки, и не исключают неподходящие. Её допускают, когда воспринимают условие как просьбу подобрать ответы, а не описать целое множество. Проверь себя: можешь ли ты объяснить, почему любая точка, удовлетворяющая условию, входит в найденную фигуру и почему всякая точка фигуры подходит?
Путать окружность и круг. Окружность содержит только точки на заданном расстоянии от центра, а круг включает также внутренние точки. Путаница возникает из-за того, что в разговоре эти слова иногда используют как взаимозаменяемые. Проверь себя: если точка ближе к центру, чем заданный радиус, она принадлежит окружности? Нет, она находится внутри круга.
Считать, что равноудалённость от концов отрезка задаёт сам отрезок или его середину. Такие точки образуют целую прямую — серединный перпендикуляр, а не только отрезок AB или одну его точку. Ошибка появляется, когда внимание сосредоточено на середине отрезка и забывают проверить точки вне него. Проверь себя: выбери точку на серединном перпендикуляре за пределами AB — она тоже должна быть равноудалена от A и B.
Измерять расстояние до стороны угла вдоль стороны. Это неверно: расстоянием от точки до прямой считается длина кратчайшего отрезка, то есть перпендикуляра к прямой. Ошибка возникает, если принять сторону угла за путь, по которому надо «идти» от точки. Проверь себя: опусти перпендикуляры из точки на обе стороны угла и сравни их длины.
Для работы с ГМТ пригодятся определения окружности, перпендикуляра, середины отрезка, равных треугольников и биссектрисы угла. Эти знания помогают обосновать, почему найденная фигура действительно содержит все решения условия. Идея ГМТ связывает свойства фигур с построениями циркулем и линейкой: вместо подбора точек строят нужную линию или окружность. Она также помогает находить решения задач с несколькими требованиями и пригодится при дальнейшем изучении окружностей и геометрических построений.
Что именно называют геометрическим местом точек?
Это множество всех точек, которые удовлетворяют заданному условию, и только их. Например, геометрическое место точек на расстоянии 2 см от точки O — окружность с центром O и радиусом 2 см.
Почему для ГМТ нужно проверить и прямое, и обратное утверждение?
Первая проверка показывает, что каждая точка, подходящая под условие, лежит на найденной фигуре. Обратная проверка доказывает, что на этой фигуре нет лишних точек, не удовлетворяющих условию.
Чем окружность отличается от круга?
Окружность состоит из точек, находящихся на одном и том же расстоянии от центра. Круг включает эти точки и все точки внутри окружности.
Почему равноудалённые от концов отрезка точки лежат на серединном перпендикуляре?
Если точка равноудалена от концов отрезка, вместе с ними она образует равнобедренный треугольник. Высота к основанию такого треугольника проходит через середину основания и перпендикулярна ему, поэтому точка лежит на серединном перпендикуляре.
Как найти точки, удовлетворяющие сразу двум условиям?
Для каждого условия нужно построить своё геометрическое место точек. Возможные решения — точки пересечения этих фигур; если пересечений нет, подходящих точек не существует.
8.8. Геометрические места точек
