"Геометрия", Козлова С.А., Рубин А.Г., Гусев В.А.
Ось симметрии помогает увидеть, как части фигуры совпадают при отражении. Угол отражается сам в себя относительно биссектрисы, а у равнобедренного треугольника такая прямая проходит от вершины между равными сторонами к середине основания. Это не просто линия на рисунке: она делит угол при вершине и основание пополам, а также является биссектрисой, медианой и высотой. Эти свойства позволяют находить элементы треугольника и проверять решения задач.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Ось симметрии фигуры — прямая, относительно которой отражение переводит фигуру в себя. При таком отражении точки словно оказываются по другую сторону прямой на таком же расстоянии от неё. Это определение помогает проверить, действительно ли прямая делит фигуру на совпадающие части.
Ось симметрии угла — его биссектриса, то есть луч, выходящий из вершины и делящий угол на два равных угла. При отражении относительно биссектрисы стороны угла совмещаются. Это свойство нужно, чтобы определять ось угла и находить величину каждой его половины.
Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны равны. Их называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием. Эти названия позволяют отличать вершину между равными сторонами от двух вершин основания и точно указывать нужную прямую.
Ось симметрии равнобедренного треугольника — прямая, проходящая через вершину между равными сторонами и середину основания. Она делит треугольник на две части, которые совпадают при отражении. По её положению можно распознать важные элементы: биссектрису, медиану и высоту к основанию.
Чтобы проверить, является ли прямая осью симметрии, мысленно отрази относительно неё фигуру. Каждая её точка должна перейти в точку, принадлежащую той же фигуре: недостаточно, чтобы совпала только часть контура. Точки на самой прямой остаются на месте, а точки вне неё переходят на противоположную сторону на равное расстояние. Поэтому прямая, которая делит рисунок на похожие, но не совпадающие части, осью не является.
Биссектриса делит угол на две равные части, и именно это равенство обеспечивает симметрию. При отражении относительно биссектрисы луч одной стороны переходит в луч другой: оба образуют с осью одинаковые углы. Вершина угла лежит на оси и не перемещается, а стороны меняются местами. Значит, весь угол после отражения совпадает с исходным, и его биссектриса служит осью.
Пусть в треугольнике ABC равны стороны AB и AC, а M — середина основания BC. Тогда BM = CM, а AM — общая сторона треугольников ABM и ACM. Вместе с AB = AC это даёт равенство этих треугольников по трём сторонам. Поэтому части треугольника по разные стороны от AM совпадают, а отражение меняет B и C местами и переводит одну боковую сторону в другую. Так прямая AM оказывается осью симметрии.
Равенство треугольников объясняет и три свойства прямой AM. Равные углы при M, лежащие рядом с прямой BC, составляют развёрнутый угол, поэтому каждый равен 90°: AM перпендикулярна BC и является высотой. Так как M — середина BC, AM — медиана. Равные углы при A по разные стороны от AM показывают, что она делит угол A пополам и является его биссектрисой.
Можно рассуждать и в обратном направлении, если начать с одной из линий, проведённых из вершины A к основанию BC. Биссектриса угла A образует два треугольника с равными углами при A, равными боковыми сторонами и общей стороной; из их равенства следует, что основание делится пополам и линия перпендикулярна ему. Для медианы равенство треугольников получается по двум сторонам и углу между ними, а для высоты — по гипотенузе и катету. В каждом случае линия проходит через вершину и середину основания, поэтому совпадает с осью.
Таблица связывает вид фигуры с её осью и показывает, какие части фигуры совпадают при отражении. Используй её, чтобы быстро вспомнить расположение оси и отличить свойство угла от свойств треугольника. Если ищешь биссектрису, медиану или высоту, сначала проверь, что треугольник равнобедренный и речь идёт об основании.
| Фигура | Ось симметрии | Что совмещается при отражении | Связанные свойства |
|---|---|---|---|
| Угол | Биссектриса угла | Стороны угла | Делит угол на два равных угла |
| Равнобедренный треугольник | Прямая через вершину между равными сторонами и середину основания | Боковые стороны и вершины основания | Биссектриса, медиана и высота к основанию совпадают |
Угол ABC равен 70°. Назвать его ось симметрии и найти углы, на которые она делит данный угол. Вершина угла — точка B, поэтому сначала нужно определить луч, который делит угол из этой вершины пополам. Такой луч является биссектрисой и одновременно осью симметрии угла.
Ответ: ось симметрии — луч BD; он делит угол на два угла по 35°. Равенство частей важно не только для вычисления: оно показывает, почему отражение относительно BD меняет стороны угла местами.
В равнобедренном треугольнике ABC равны AB и AC. Проведена медиана AM к основанию BC. Объяснить, почему AM — ось симметрии треугольника. Медиана делит противоположную сторону пополам, поэтому M — середина BC и BM = CM.
Ответ: AM — ось симметрии ABC. Рассуждение работает потому, что медиана проведена именно к основанию равнобедренного треугольника: равные боковые стороны дают совпадение двух частей фигуры.
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC угол при вершине A равен 40°. Найти углы при основании и объяснить, почему биссектриса угла A является осью симметрии. У равнобедренного треугольника углы при основании равны, а сумма всех углов треугольника равна 180°.
Ответ: ∠B = ∠C = 70°, а биссектриса угла A — ось симметрии. Она делит угол A на две части по 20° и меняет вершины B и C местами при отражении.
Любая линия из вершины — не обязательно ось. Её могут провести через вершину, но это ещё не гарантирует, что отражённые части совпадут. Ошибку допускают, принимая положение линии за доказательство симметрии. Проверь, переходит ли при отражении вся фигура в себя.
Ось проходит не через середину боковой стороны. У равнобедренного треугольника она идёт от вершины между равными сторонами к середине основания. Путают эти точки, потому что треугольник имеет несколько сторон и середин. Чтобы проверить себя, найди сначала основание — сторону, не равную боковым.
Биссектриса, медиана и высота — разные определения. Первая делит угол пополам, вторая — сторону пополам, третья перпендикулярна стороне. Их принимают за одно и то же, увидев, что они совпадают в равнобедренном треугольнике. Уточни, какое условие задано, и помни: совпадение здесь относится к прямой из вершины к основанию.
Нельзя переносить это совпадение на любой треугольник. В произвольном треугольнике биссектриса, медиана и высота к одной стороне обычно идут по разным прямым. Ошибка возникает, если забыть, что равенство боковых сторон создаёт симметрию. Проверь, что треугольник равнобедренный и нужная сторона действительно его основание.
Для этой темы пригодятся определения биссектрисы, медианы и высоты, а также представление об отражении относительно прямой. Доказательство симметрии равнобедренного треугольника опирается на признаки равенства треугольников и равенство углов при основании. В дальнейшем оси симметрии помогут разбирать геометрические преобразования, выполнять построения и находить свойства других фигур. Умение распознавать совпадающие части делает решение задач более наглядным.
Что называют осью симметрии фигуры?
Это прямая, относительно которой отражение переводит фигуру в себя. Каждая точка фигуры после отражения должна оказаться на этой же фигуре.
Почему биссектриса угла является его осью симметрии?
Биссектриса делит угол на два равных угла. При отражении относительно неё одна сторона угла переходит в другую, поэтому угол совмещается сам с собой.
Где проходит ось симметрии равнобедренного треугольника?
Она проходит через вершину между равными сторонами и середину основания. При отражении боковые стороны и вершины основания меняются местами.
Всегда ли ось равнобедренного треугольника является его высотой?
Да, она перпендикулярна основанию и поэтому является высотой к нему. Та же прямая делит основание пополам и угол при вершине пополам.
Может ли у равнобедренного треугольника быть несколько осей симметрии?
У обычного равнобедренного треугольника с неравными боковыми сторонами одна ось симметрии. Если треугольник равносторонний, то его стороны равны все, и осей симметрии три.
8.7. Оси симметрии угла и равнобедренного треугольника
