8.6. Оси симметрии некоторых круглых фигур

Определения и обозначения

Ось симметрии фигуры — прямая, относительно которой отражение переводит фигуру в саму себя. При таком отражении точки оказываются по другую сторону прямой, на таком же расстоянии от неё. Это похоже на отражение в зеркале: если мысленно сложить фигуру по оси, её части совпадут. Определение помогает отличить настоящую ось от прямой, которая лишь пересекает фигуру.

Окружность — множество точек плоскости, равноудалённых от одной заданной точки. Эта точка называется центром окружности, а одинаковое расстояние от неё до любой точки окружности — радиусом. Например, если центр обозначен O, а радиус — r, то расстояние от O до каждой точки окружности равно r. Эти понятия нужны, чтобы описывать форму и располагать оси относительно центра.

Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью. Сама окружность является только границей, а круг включает и эту границу, и все точки внутри неё. Например, обводка нарисованного круга изображает окружность, а закрашенная область внутри — часть круга. Это различие важно: в задачах нужно проверять симметрию всей рассматриваемой фигуры, а не только её края.

Диаметр окружности — хорда, проходящая через центр; хорда — это отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметр состоит из двух радиусов, расположенных на одной прямой, поэтому его середина совпадает с центром. Прямая, содержащая диаметр, проходит через центр и может быть осью симметрии окружности или круга. Сам отрезок и вся прямая — не одно и то же: осью называют именно прямую.

Как это устроено

При отражении относительно прямой каждая точка переходит на противоположную сторону, сохраняя расстояние до прямой. Чтобы проверить ось симметрии, нужно мысленно отразить не отдельный отрезок, а всю фигуру: все её точки должны оказаться на месте точек этой же фигуры. Если хотя бы часть после отражения не совпала, выбранная прямая не является осью. Такой способ проверки одинаково работает для простых и сложных фигур.

Проведём через центр окружности прямую и рассмотрим любую точку окружности. При отражении эта точка окажется на другой стороне прямой, но на том же расстоянии от центра: центр лежит на оси и остаётся на месте, а расстояния сохраняются. Значит, её отражение тоже принадлежит окружности, потому что удалено от центра на радиус. Так каждой точке окружности соответствует точка на окружности, и вся фигура совпадает сама с собой.

Для круга рассуждение похожее, но проверять нужно не только границу. Отражение сохраняет расстояние до центра: точки внутри круга остаются внутри, потому что их расстояние от центра меньше радиуса, а точки границы остаются на границе. Поэтому круг целиком переходит в себя. Следовательно, любая прямая через центр является осью и для круга, и для его границы — окружности.

Через центр можно провести прямую под любым углом, и для каждой из них сохраняется тот же довод. Направлений бесконечно много, поэтому у окружности и круга бесконечно много осей симметрии. Горизонтальная и вертикальная прямые — лишь два наглядных примера, а не полный список. Любая прямая через центр, даже наклонная, подходит.

Полукруг ограничен дугой и диаметром, поэтому его части по разные стороны от прямой, содержащей диаметр, различны: с одной стороны есть полукруг, с другой — нет. Если провести через середину диаметра перпендикулярную ему прямую, она разделит полукруг на две зеркально равные части. При отражении каждая часть перейдёт в другую, а граница и вся фигура сохранятся. Другие прямые через центр обычно не подходят: они не делят полукруг на совпадающие части.

Оси симметрии круглых фигур

Чтобы пользоваться таблицей, сначала определи, какая именно фигура изображена: окружность, круг или полукруг. Затем найди её центр или середину диаметра и сравни расположение предполагаемой оси с третьим столбцом. Если прямая соответствует описанию, она является осью симметрии.

Разбор задач

Задача 1. Оси окружности

Условие: дана окружность с отмеченным центром O. Нужно назвать её оси симметрии. Отдельные прямые на чертеже могут показать несколько вариантов, но требуется описать все подходящие прямые. Поэтому будем рассуждать не по их наклону, а по общему свойству.

1. Проведём через O прямую в любом направлении. Она разделит окружность на две части.
2. При отражении относительно этой прямой центр останется на месте, а каждая точка окружности перейдёт в точку на том же расстоянии от центра.
3. Это расстояние равно радиусу, значит, отражённая точка тоже лежит на окружности. Рассуждение подходит для любой прямой через O.

Ответ: осью симметрии является любая прямая, проходящая через центр O. Таких прямых бесконечно много, поэтому перечислить их по одной нельзя. Достаточно указать общее условие.

Задача 2. Прямая через центр круга

Условие: на рисунке изображён круг, а внутри проведён отрезок через его центр. Нужно определить, является ли прямая, содержащая этот отрезок, осью круга. Важно учитывать, что отрезок только часть прямой, а ось симметрии — прямая. Проверим сначала положение прямой, затем действие отражения.

1. Убедимся, что прямая проходит через центр круга. По условию отрезок пересекает центр, значит, его содержащая прямая проходит через центр.
2. Отражение относительно этой прямой сохраняет расстояние от центра. Поэтому точки внутри круга останутся внутри, а точки границы перейдут в точки границы.
3. Следовательно, вся область круга после отражения совпадёт с исходной. Наклон отрезка не меняет вывода: важен проход через центр.

Ответ: да, содержащая отрезок прямая является осью симметрии круга. Если бы она не проходила через центр, такое отражение не сохраняло бы круг целиком. Поэтому проверка положения относительно центра — удобный первый шаг.

Задача 3. Оси полукруга

Условие: дан диаметр, нужно изобразить ограниченный им полукруг и указать все его оси симметрии. Полукруг можно нарисовать по любую сторону от диаметра, но после построения положение оси определяется одинаково. Нужно найти прямую, которая делит сам полукруг на зеркальные половины.

1. Найдём середину диаметра: она является центром соответствующей окружности. Построим через неё прямую, перпендикулярную диаметру.
2. Эта прямая делит полукруг на две части одинаковой формы. При отражении одна часть переходит в другую, а диаметр и дуга остаются частью границы фигуры.
3. Проверим другие возможные направления. Прямая, содержащая диаметр, при отражении меняет полукруг на противоположную половину, а наклонная прямая обычно не совмещает его границы.

Ответ: у полукруга одна ось симметрии — прямая через середину диаметра, перпендикулярная ему. Обе её части совпадают при отражении, поэтому условие оси выполнено. Прямая диаметра осью не является.

Типичные ошибки

Ошибка: считать осью любую прямую, пересекающую окружность. Такое предположение возникает потому, что пересекающая прямая делит рисунок на части, но одного деления недостаточно для симметрии. Отрази всю фигуру и проверь, совпадут ли её точки; например, прямая, не проходящая через центр, не сохранит окружность. Если совпадения нет, это не ось.

Ошибка: указывать у окружности только горизонтальную и вертикальную оси. Их часто выбирают, потому что на чертеже их проще заметить, и принимают видимые примеры за полный список. Проверь наклонную прямую, проведённую через центр: она тоже разделит окружность на зеркально совпадающие части. Значит, число осей не ограничивается двумя.

Ошибка: путать круг и окружность. На рисунке их часто изображают одной линией, из-за чего забывают о внутренней области круга. Окружность — граница, а круг содержит ещё и точки внутри; перед решением назови фигуру точно. При проверке оси круга учитывай отражение и границы, и внутренней части.

Ошибка: называть осью полукруга прямую, содержащую его диаметр. Её легко выбрать, потому что она проходит через середину фигуры и кажется естественной линией сгиба. Но при отражении полукруг перейдёт на другую сторону диаметра, то есть в другую половину полного круга. Проверка простая: сравни фигуру с её отражением, а не только положение диаметра.

Связь с другими темами

Для этой темы понадобятся понятия точки, прямой, перпендикулярных прямых, окружности, центра и диаметра. Без них трудно определить, где должна проходить ось и как построить её для полукруга. Симметрия пригодится при изучении свойств других геометрических фигур и при построении чертежей. Она также помогает замечать закономерности в узорах и симметричных орнаментах.

Что запомнить

• Ось симметрии отражает фигуру в саму себя.
• Любая прямая через центр окружности является её осью симметрии.
• У круга и окружности бесконечно много осей симметрии.
• Окружность — граница круга, а круг содержит и внутреннюю область.
• У полукруга одна ось симметрии — прямая через середину диаметра, перпендикулярная ему.