"Геометрия", Козлова С.А., Рубин А.Г., Гусев В.А.
Отрезок совмещается сам с собой при отражении относительно двух прямых: той, на которой он лежит, и проходящего через его середину перпендикуляра. Этот второй вид оси называется серединным перпендикуляром. Он помогает понять, какие точки одинаково удалены от концов отрезка. Это свойство используют в геометрических построениях и доказательствах, а также проверяют в обратном направлении: равные расстояния до концов показывают, что точка лежит на серединном перпендикуляре.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Ось симметрии фигуры — прямая, при отражении относительно которой фигура совмещается сама с собой. Например, отрезок можно отразить относительно прямой, на которой он лежит: все его точки останутся на месте. Это понятие помогает находить прямые, по которым фигуру можно как бы сложить так, чтобы её части совпали.
Середина отрезка — точка этого отрезка, которая делит его на два равных отрезка. Если M — середина AB, то AM = MB. Середина нужна, чтобы точно указать место, через которое проходит одна из осей симметрии отрезка.
Серединный перпендикуляр к отрезку — прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная ему. Значит, она пересекает отрезок под прямым углом ровно в его середине. Это название сразу подсказывает два условия, которые нужно проверить при построении такой прямой.
Точка, равноудалённая от концов отрезка, — точка, расстояния от которой до обоих концов равны. Например, для точки P и отрезка AB это записывают так: PA = PB. Такое условие позволяет установить, лежит ли точка на серединном перпендикуляре.
Рассмотрим отрезок AB и прямую, на которой он лежит. При отражении относительно этой прямой точка A остаётся на месте, потому что принадлежит оси отражения; то же происходит с точкой B. Все промежуточные точки отрезка также остаются на этой прямой, поэтому весь отрезок после отражения совпадает с собой. Именно поэтому прямая, содержащая отрезок, тоже является его осью симметрии.
Теперь проведём через середину отрезка прямую, перпендикулярную ему. При отражении относительно неё точка A переходит в точку B, а B — в A: середина находится на оси, а концы расположены от неё на одинаковом расстоянии по разные стороны. Отражение переводит одну часть отрезка в другую, не растягивая и не сдвигая их. Поэтому после отражения отрезок снова занимает то же место.
Других осей симметрии у отрезка нет. Если ось не совпадает с прямой AB и не проходит через середину отрезка перпендикулярно ему, отражение не оставит оба конца на месте и не поменяет их друг с другом. В первом случае при симметрии концы должны остаться на местах, а во втором — перейти друг в друга. Так получаются ровно две возможные оси.
Пусть точка M лежит на серединном перпендикуляре к AB. При отражении относительно этой прямой M остаётся на месте, а A и B меняются местами. Отражение сохраняет расстояния между точками, поэтому расстояние от M до A становится равным расстоянию от M до B. Следовательно, MA = MB, то есть M равноудалена от концов отрезка.
Верно и обратное: если точка P равноудалена от A и B, то PA = PB. Середина отрезка AB тоже одинаково удалена от A и B, поэтому вместе с P она образует равнобедренный треугольник с основанием AB; его вершина лежит на перпендикуляре, проведённом через середину основания. Значит, P принадлежит серединному перпендикуляру к AB. Получается удобный признак: равенство расстояний до концов позволяет определить положение точки, даже если её заранее не проверяли по чертежу.
В таблице сопоставлены две оси симметрии и их свойства. Она помогает не смешивать поведение концов при разных отражениях и вспомнить связь серединного перпендикуляра с расстояниями. При решении задачи сначала выберите нужный столбец, а затем сверьте требуемое свойство.
| Объект или свойство | Прямая, содержащая отрезок | Серединный перпендикуляр |
|---|---|---|
| Проходит через концы отрезка | Да, через оба конца | Нет, проходит через середину |
| Как преобразуются концы при отражении | Остаются на месте | Меняются местами |
| Является ли осью симметрии отрезка | Да | Да |
| Связь точек прямой с расстояниями до концов отрезка | В общем случае расстояния не равны | Любая точка равноудалена от концов |
Задача 1. Отметьте отрезок AB и назовите все его оси симметрии. Чтобы не пропустить одну из осей, проверим отдельно отражение, при котором концы остаются на местах, и отражение, при котором они меняются местами.
Ответ: прямая AB и серединный перпендикуляр к AB.
Задача 2. Точка M лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB. Сравните расстояния MA и MB. Здесь не требуется измерять отрезки: условие уже сообщает, на какой прямой лежит точка, а её свойство связывает с расстояниями до концов.
Ответ: MA = MB.
Задача 3. Точка P не лежит на прямой AB, причём PA = PB. Докажите, что P лежит на серединном перпендикуляре к AB. Равенство расстояний — это условие обратного свойства, поэтому именно его применяем в доказательстве.
Ответ: P лежит на серединном перпендикуляре к AB.
Ошибка: называть осью симметрии отрезка только серединный перпендикуляр. Так происходит, если вспоминают лишь отражение с перестановкой концов и забывают о прямой, на которой лежит сам отрезок. Проверьте каждую прямую отражением: если после него отрезок совмещается с собой, это ось; таких прямых две.
Ошибка: проводить серединный перпендикуляр через один из концов. Иногда путают слово «серединный» с обозначением конца или выбирают удобную точку на чертеже. Проверьте, что прямая проходит именно через середину, то есть делит отрезок на две равные части.
Ошибка: считать, что любой перпендикуляр, проходящий через середину, подходит, не проверив, к чему он перпендикулярен. Название прямой требует и прохождения через середину, и прямого угла с отрезком. Для самопроверки отметьте оба условия отдельно: точка пересечения — середина, угол — 90°.
Ошибка: путать прямое и обратное свойства. Из принадлежности серединному перпендикуляру следует равенство расстояний, а из равенства расстояний следует принадлежность ему; это разные направления рассуждения. Перед выводом запишите, что дано, и выберите соответствующее утверждение, не подменяя одно другим.
Для этой темы понадобятся знания о середине отрезка, перпендикулярных прямых и отражении относительно прямой. Если эти понятия забылись, сначала вспомните, как отмечают середину и как распознают прямой угол. Свойства серединного перпендикуляра применяются при построениях и доказательствах, когда нужно рассуждать о равных расстояниях. Тема также связана с осевой симметрией других фигур: принцип отражения остаётся тем же, хотя осей у фигуры может быть больше или меньше.
Сколько осей симметрии у отрезка?
У отрезка ровно две оси симметрии. Это прямая, содержащая отрезок, и серединный перпендикуляр к нему.
Почему прямая, содержащая отрезок, считается его осью симметрии?
При отражении относительно этой прямой каждая точка отрезка остаётся на месте. Поэтому отрезок после отражения совмещается сам с собой.
Как построить серединный перпендикуляр к отрезку?
Сначала найдите середину отрезка, затем проведите через неё прямую под прямым углом к отрезку. Для построения середины можно использовать циркуль и линейку или измерить длину отрезка и отметить её половину.
Как проверить, что точка лежит на серединном перпендикуляре?
Сравните расстояния от точки до обоих концов отрезка. Если они равны, то точка лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
Верно ли, что любая точка серединного перпендикуляра одинаково удалена от концов отрезка?
Да. Отражение относительно серединного перпендикуляра меняет концы отрезка местами, но сохраняет расстояния. Поэтому расстояние от любой точки этой прямой до одного конца равно расстоянию до другого.
8.5. Оси симметрии отрезка. Серединный перпендикуляр к отрезку
