8.4. Осевая симметрия и её применение

Определения и обозначения

Осевая симметрия — преобразование, при котором фигура отражается относительно заданной прямой. Такое отражение похоже на отражение в зеркале: каждой точке фигуры соответствует точка по другую сторону прямой. Это понятие нужно, чтобы описывать зеркальное расположение частей фигуры и строить её образ.

Ось симметрии — прямая, относительно которой выполняется отражение; она является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему точку и её образ. Серединный перпендикуляр проходит через середину отрезка и образует с ним прямой угол. Поэтому по оси можно проверить, правильно ли построена симметричная точка.

Симметричные точки — точки, расположенные по разные стороны от оси на одинаковом расстоянии, причём соединяющий их отрезок перпендикулярен оси. Если точки обозначены A и A′, а ось — l, то отрезок AA′ пересекает l под прямым углом и делится ею пополам. Это определение помогает строить образ точки и проверять построение.

Симметричная фигура — фигура, которая при отражении относительно некоторой прямой совмещается сама с собой. Такую прямую называют осью симметрии фигуры. Определение помогает отличить фигуры, действительно обладающие симметрией, от тех, у которых лишь отдельные стороны или углы равны.

Как это устроено

Чтобы построить точку A′, симметричную точке A относительно прямой l, сначала опустим из A перпендикуляр на l. Обозначим точку пересечения перпендикуляра с осью буквой H. Затем на продолжении AH за ось отложим отрезок HA′, равный AH. Такой способ работает потому, что H становится серединой AA′, а прямая l — перпендикулярной к этому отрезку.

Почему ось проходит через середину отрезка и перпендикулярна ему? Расстояния от симметричных точек до оси равны, поэтому они откладываются вдоль одного перпендикуляра на одинаковую величину в противоположных направлениях. Основание этого перпендикуляра находится ровно посередине между точками. Следовательно, ось и есть серединный перпендикуляр к отрезку между ними.

При отражении отрезка его концы переходят в свои образы, а сам отрезок — в отрезок, соединяющий эти образы. Углы также отражаются: их стороны переходят в соответствующие лучи. По тому же правилу отражаются многоугольники и другие фигуры, ведь каждая точка получает соответствующую ей точку по другую сторону оси.

Отражение сохраняет расстояния между точками: соответствующие отрезки имеют равные длины. Поэтому сохраняются и длины сторон, а величина угла не меняется, поскольку его стороны отражаются одинаковым образом. Фигура и её образ имеют одинаковые форму и размеры, то есть являются равными фигурами; их площади также равны.

Оси симметрии знакомых фигур можно искать по тому, складываются ли их части друг на друга при отражении. Например, у равнобедренного треугольника осью служит прямая через вершину между равными сторонами и середину основания. У квадрата таких прямых четыре: две проходят через середины противоположных сторон, ещё две — по диагоналям. Найденная ось позволяет использовать равенство соответствующих частей при решении задач.

Свойства объектов при осевой симметрии

Таблица показывает, что именно происходит с разными объектами при отражении и какие свойства остаются неизменными. При решении задачи сначала определите, какой объект отражается, а затем выберите подходящее свойство. Например, для доказательства равенства отрезков используйте сохранение длины, а для построения образа точки — свойство серединного перпендикуляра.

Разбор задач

Построение симметричной точки

Дана прямая l и точка A вне неё. Нужно построить точку A′, симметричную A относительно l. Здесь важно не просто отложить равное расстояние на глаз: точки A, A′ и основание перпендикуляра должны лежать на одной прямой. Проверим построение по двум признакам симметричных точек.

1. Через A проведём перпендикуляр к l и обозначим основание перпендикуляра H.
2. Продолжим прямую AH за ось l. На продолжении отложим от H расстояние, равное HA.
3. Конец отложенного отрезка обозначим A′. Тогда H — середина AA′, а l перпендикулярна AA′.

Оба условия выполнены: точка A′ находится по другую сторону оси на том же расстоянии, а соединяющий точки отрезок перпендикулярен оси. Значит, построена именно точка, симметричная A относительно l. Ответ: точка A′, построенная на продолжении перпендикуляра AH так, что HA′ = HA.

Отражение треугольника

Построим треугольник, симметричный ABC относительно прямой l, и докажем равенство треугольников. Вершины образа обозначим A′, B′ и C′. Образ нужно строить для каждой вершины отдельно: тогда будут известны все три вершины новой фигуры.

1. Из A, B и C проведём перпендикуляры к l и на противоположной стороне отложим равные расстояния. Получим точки A′, B′ и C′.
2. Соединим A′ с B′, B′ с C′ и C′ с A′ в том же порядке, что и вершины исходного треугольника.
3. Сопоставим стороны: A′B′ = AB, B′C′ = BC, C′A′ = CA, поскольку отражение сохраняет расстояния между точками.

У треугольников равны все три соответствующие стороны, значит, треугольники ABC и A′B′C′ равны по трём сторонам. Такой вывод следует из свойств отражения, а не из внешнего вида чертежа. Ответ: образ — треугольник A′B′C′, равный ABC.

Углы равнобедренного треугольника

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием AB, а его ось симметрии проходит через вершину C и середину основания. Если известен один из углов при основании, найдём остальные. Например, пусть ∠A = 50°. Отражение относительно оси меняет местами A и B, поэтому углы при основании равны.

1. Запишем равенство углов при основании: ∠B = ∠A = 50°.
2. Используем сумму углов треугольника: ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
3. Подставим известные значения: ∠C = 180° − 50° − 50° = 80°.

Ось симметрии объясняет равенство углов у основания, а сумма углов треугольника позволяет найти третий угол. Если известен вершиной угол ∠C, то каждый угол при основании равен (180° − ∠C) ÷ 2. Ответ в приведённом примере: ∠B = 50°, ∠C = 80°.

Типичные ошибки

При построении иногда проводят отрезок от точки к оси наклонно. Так случается, если забыть, что ось должна быть серединным перпендикуляром к отрезку между точкой и её образом. Проверьте чертёж: угол с осью должен быть прямым, а ось должна пересекать отрезок в его середине.

Другая ошибка — откладывать по разные стороны оси неодинаковые расстояния. В результате точки оказываются не зеркальными, даже если соединяющий их отрезок перпендикулярен оси. Измерьте расстояния от обеих точек до оси: они должны быть равны.

При отражении многоугольника можно соединить образы вершин не в том порядке. Тогда получатся другие стороны и другая фигура, хотя все точки могли быть построены верно. Сохраняйте последовательность вершин исходного контура: например, A′ соединяйте с B′, B′ с C′, затем C′ с A′.

Иногда считают, что любая фигура с равными сторонами обязательно имеет ось симметрии. Равенство сторон само по себе не гарантирует, что отражение относительно конкретной прямой совместит всю фигуру с собой. Чтобы проверить симметрию, найдите прямую и убедитесь, что каждой точке фигуры соответствует точка на таком же расстоянии по другую сторону оси.

Связь с другими темами

Для изучения осевой симметрии нужны знания о перпендикуляре и серединном перпендикуляре к отрезку, равенстве фигур и свойствах углов. Построение образов точек и фигур выполняют с помощью циркуля и линейки. Эти навыки особенно пригодятся при изучении равнобедренного треугольника, геометрических построений и доказательств равенства фигур.

Позже осевую симметрию применяют при изучении многоугольников и окружности, а также в координатном методе и задачах на построение. Она помогает увидеть одинаковые части фигуры и использовать их свойства. Поэтому важно не только узнавать симметричные рисунки, но и уметь обосновать наличие оси.

Что запомнить

• Осевая симметрия выполняется относительно прямой.
• Ось симметрии — серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему симметричные точки.
• Симметричные точки находятся на одинаковом расстоянии от оси.
• При осевой симметрии сохраняются длины и величины углов.
• Фигура с осью симметрии совмещается сама с собой при отражении относительно этой оси.
• Для построения образа фигуры достаточно построить образы всех её вершин и соединить их в соответствующем порядке.