8.3. Высота треугольника

Определения и обозначения

Высота треугольника — отрезок перпендикуляра, проведённого из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. Перпендикуляр — это прямая или отрезок, образующий с другой прямой прямой угол. Например, высота из вершины A треугольника ABC направлена к прямой BC. Это определение помогает отличить высоту от любого другого отрезка, проведённого из вершины.

Основание высоты — точка, в которой перпендикуляр пересекает прямую, содержащую противоположную сторону. Если высота из A пересекает прямую BC в точке H, то H — её основание. Оно может находиться как на стороне BC, так и на её продолжении. По основанию видно, где именно высота встречает нужную прямую.

Высоту обычно обозначают двумя буквами, например AH, а её длину — тем же обозначением. На чертеже отрезок AH проводят от вершины A до основания H, а возле H ставят маленький квадратик: он показывает прямой угол между AH и BC. Так обозначение помогает сразу увидеть, какая сторона служит высотой и к какой прямой она перпендикулярна. Если высоту называют по вершине, говорят «высота из A».

Высота — именно отрезок, а не вся прямая, на которой он лежит. Она ограничена двумя точками: вершиной треугольника и основанием на прямой противоположной стороны. Продолжение этой прямой за основание в высоту не входит. Это различие нужно, чтобы не принять за высоту бесконечную линию вместо нужного отрезка.

Как это устроено

Чтобы провести высоту, сначала выбирают вершину, из которой она должна выходить. Затем через эту вершину проводят перпендикуляр к прямой, содержащей противоположную сторону, и отмечают точку пересечения. Отрезок между вершиной и этой точкой и будет высотой. Такой порядок важен: сначала задают направление прямого угла, а уже потом определяют границы отрезка.

Иногда перпендикуляр из вершины не попадает на противоположную сторону, потому что нужная точка пересечения находится за концом отрезка. Тогда сторону продолжают по той же прямой. Это не меняет направление стороны и не меняет условие перпендикулярности. Высота всё равно проводится к прямой, содержащей сторону, поэтому её основание может оказаться за пределами треугольника.

Положение высот связано с величинами углов треугольника. В остроугольном треугольнике все углы меньше прямого, поэтому перпендикуляры из вершин встречают противоположные стороны внутри треугольника. В прямоугольном одна высота из вершины прямого угла падает на гипотенузу, а два катета уже перпендикулярны друг другу. В тупоугольном треугольнике высоты из острых вершин могут встретить продолжения противоположных сторон, поэтому часть высот оказывается снаружи.

В прямоугольном треугольнике с прямым углом C стороны AC и BC — катеты, а AB — гипотенуза. Катет AC перпендикулярен BC, поэтому AC является высотой из A; по той же причине BC является высотой из B. Третью высоту проводят из C перпендикулярно прямой AB. Она не совпадает с катетом, потому что опускается на гипотенузу.

Построение проверяют угольником: одну его сторону прикладывают к противоположной стороне или её продолжению, а другую совмещают с предполагаемой высотой. Если угол между ними прямой, условие перпендикулярности выполнено. На чертеже прямой угол отмечают маленьким квадратиком у основания. Проверка важна, поскольку отрезок может выходить из нужной вершины, но всё же быть наклонённым к стороне.

Расположение высот в зависимости от вида треугольника

Сначала определите вид треугольника по его углам, а затем используйте строку таблицы как подсказку для построения. У остроугольного треугольника продолжать стороны не нужно, а у тупоугольного это может понадобиться. В прямоугольном треугольнике два катета уже можно распознать как высоты.

Разбор задач

1. Высота в остроугольном треугольнике

Условие. В остроугольном треугольнике ABC провести высоту из вершины A и обозначить её основание. Нужно получить отрезок, который начинается в A и перпендикулярен противоположной стороне BC. Так как треугольник остроугольный, ожидаем найти основание непосредственно на стороне BC.

1. Рассматриваем сторону BC, противоположную вершине A. Проводим из A перпендикуляр к прямой BC, пользуясь угольником.
2. Отмечаем точку пересечения перпендикуляра и BC буквой H. Поскольку треугольник остроугольный, H лежит на отрезке BC.
3. Проводим отрезок AH и ставим у H значок прямого угла. Проверяем угольником, что AH перпендикулярен BC.

Ответ: AH — высота из A, H — основание высоты.

2. Высоты в прямоугольном треугольнике

Условие. В треугольнике ABC угол C прямой. Требуется указать высоты, совпадающие со сторонами, и провести третью. Так как AC и BC образуют прямой угол, каждое из этих плеч можно рассматривать как перпендикуляр к другому катету.

1. Записываем, что AC ⟂ BC. Значит, AC — высота из A к стороне BC, а BC — высота из B к стороне AC.
2. Находим третью сторону AB, гипотенузу. Из вершины C проводим перпендикуляр к прямой AB и обозначаем точку пересечения H.
3. Проводим отрезок CH и отмечаем прямой угол при H. Угольником проверяем, что CH перпендикулярен AB.

Ответ: AC и BC являются высотами; CH — третья высота, проведённая к гипотенузе AB.

3. Высота в тупоугольном треугольнике

Условие. В треугольнике ABC тупой угол находится при B. Нужно построить высоту из A и обозначить основание. Прямая BC содержит сторону, противоположную A, но перпендикуляр из A может пересечь её не на самом отрезке.

1. Продолжаем BC за один из концов, чтобы получить прямую, содержащую сторону BC. Продолжение нужно не всегда, а только если основание не попадает на отрезок.
2. Из A проводим перпендикуляр к прямой BC. Точку пересечения обозначаем H; в данном расположении она оказывается вне треугольника.
3. Проводим отрезок AH от вершины до H и отмечаем у основания прямой угол. Проверяем, что AH перпендикулярен именно прямой BC.

Ответ: AH — высота из A, H — её основание на продолжении BC вне треугольника.

Типичные ошибки

Ошибка: проводить высоту только к отрезку стороны и не продолжать его, когда перпендикуляр попадает за его пределы. Так поступают, потому что принимают слово «сторона» только за отрезок, хотя в определении речь идёт о прямой, которая его содержит. Проверьте, удалось ли провести перпендикуляр из вершины: если основание находится за концом стороны, продолжите её.

Ошибка: считать высотой любой отрезок из вершины к противоположной стороне. Его расположение может казаться подходящим, но без прямого угла это не высота. Проверьте угольником угол между отрезком и прямой стороны; он должен быть прямым.

Ошибка: путать основание высоты с вершиной, из которой её проводят. Такое возможно, если не смотреть на обозначения и не проследить оба конца отрезка. Проверьте, что один конец высоты совпадает с выбранной вершиной, а второй отмечен на противоположной стороне или её продолжении.

Ошибка: считать, что любая высота обязательно находится внутри треугольника. Это верно для остроугольного треугольника, но не для всех треугольников. В тупоугольном некоторые высоты лежат снаружи; проверьте, продолжили ли вы прямую стороны, если перпендикуляр попадает вне отрезка.

Связь с другими темами

Для построения высоты нужно знать, что такое отрезок, прямой угол и перпендикулярные прямые. Вид треугольника по углам подсказывает, где искать основания высот и придётся ли продолжать сторону; угольник помогает выполнить и проверить построение. Позже высота понадобится при нахождении площади треугольника по стороне и проведённой к ней высоте: чем больше высота при той же стороне, тем больше площадь. Поэтому важно различать саму высоту и прямую, на которой она лежит.

Что запомнить

• Высота треугольника проводится из вершины перпендикулярно прямой, содержащей противоположную сторону.
• Основание высоты — точка пересечения перпендикуляра с этой прямой.
• У каждого треугольника три высоты.
• В остроугольном треугольнике все высоты лежат внутри.
• В прямоугольном треугольнике катеты являются двумя высотами.
• В тупоугольном треугольнике некоторые высоты лежат вне треугольника.