4.8. Высота треугольника

Определения и обозначения

Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. Перпендикуляр образует с этой прямой прямой угол. Это условие отличает высоту от любого другого отрезка из вершины.

Основание высоты — точка пересечения высоты с прямой, содержащей противоположную сторону. Обычно его обозначают буквой H, например H — основание высоты AH. По положению точки H можно понять, лежит ли высота внутри треугольника.

Высота из вершины — отрезок, связывающий вершину треугольника с основанием соответствующей высоты. Например, AH — высота из вершины A, если AH ⟂ BC. Такое обозначение показывает и сам отрезок, и вершину, из которой он проведён.

Три высоты треугольника — высоты, проведённые из каждой из его вершин. В треугольнике ABC это высоты из A, B и C. Их обозначают, например, AH, BE и CF, если H, E и F — соответствующие основания.

Как это устроено

Высоту проводят перпендикулярно, потому что именно перпендикуляр показывает кратчайшее расстояние от точки до прямой. Если провести отрезок под другим углом, он не будет расстоянием до противоположной стороны в геометрическом смысле. Кроме того, прямой угол даёт точный и одинаковый признак для построения высоты.

Из вершины A высоту строят так: находят прямую BC, содержащую противоположную сторону, и проводят через A перпендикуляр к ней. Точку пересечения обозначают H, а отрезок AH называют высотой. Точно так же из B проводят перпендикуляр к AC, а из C — к AB, поэтому высот всегда три.

Положение основания зависит от углов треугольника. В остроугольном треугольнике каждый угол меньше 90°, поэтому перпендикуляры из вершин пересекают сами противоположные стороны. В прямоугольном треугольнике две стороны уже перпендикулярны друг другу, поэтому они сразу становятся двумя высотами.

В тупоугольном треугольнике один угол больше 90°, и перпендикуляры из двух других вершин направляются к продолжениям противоположных сторон. Поэтому их основания оказываются вне треугольника, хотя сами отрезки по-прежнему являются высотами. На чертеже высоту обозначают отрезком с прямым уголком у основания; медиана делит сторону пополам, а биссектриса делит угол пополам.

Положение высот в треугольниках разных видов

Таблица помогает быстро определить, где искать основания и сами высоты. Сначала найдите вид треугольника, затем проверьте, лежит ли основание на стороне или на её продолжении. В прямоугольном треугольнике отдельно отметьте две стороны, которые уже являются высотами.

Разбор задач

Задача 1

В треугольнике ABC даны отрезки AD, BE и CF. Известно, что AD перпендикулярен BC, BE перпендикулярен AC, а CF пересекает AB под произвольным углом. Определим, какие отрезки удовлетворяют всем условиям высоты.

1. Отрезок AD выходит из вершины A и перпендикулярен противоположной стороне BC, значит, AD — высота.
2. Отрезок BE выходит из B и перпендикулярен AC, значит, BE — высота.
3. Для CF нет условия перпендикулярности к AB. Одного пересечения со стороной недостаточно.

Ответ: AD и BE — высоты, а CF высотой не является.

Задача 2

Нужно построить все высоты тупоугольного треугольника ABC и указать, какие стороны продолжить. Пусть тупым является угол A, тогда сторона BC лежит напротив тупого угла, а углы B и C острые. Построение выполняем для каждой вершины, не ограничиваясь внутренней частью фигуры.

1. Из A проводим перпендикуляр к прямой BC. Его основание лежит на стороне BC, поэтому эта высота находится внутри треугольника.
2. Через B проводим перпендикуляр к прямой AC, продолжив AC за сторону, если это требуется. Основание окажется на продолжении AC.
3. Через C проводим перпендикуляр к прямой AB, продолжив AB за сторону. Основание также будет внешним.

Ответ: нужно продолжить стороны AC и AB; одна высота расположена внутри, две — вне треугольника.

Задача 3

В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90°. Требуется назвать все высоты. Прямой угол означает, что AC перпендикулярна BC, поэтому две стороны уже соответствуют определению высоты.

1. Сторона AC выходит из A и перпендикулярна противоположной стороне BC, значит, AC — высота из A.
2. Сторона BC выходит из B и перпендикулярна противоположной стороне AC, значит, BC — высота из B.
3. Из C проводим перпендикуляр к гипотенузе AB. Полученный отрезок — третья высота.

Ответ: AC и BC — две высоты, а третья проведена из C к гипотенузе AB.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Высотой называют любой отрезок из вершины к противоположной стороне. Так происходит, если забывают о главном признаке — прямом угле. Проверьте, есть ли знак перпендикулярности.

Ошибка 2. Высоту проводят к стороне, на которой находится вершина. Вершина не может быть противоположной этой стороне, поэтому такое построение нарушает определение. Сначала назовите вершину, затем найдите сторону напротив неё.

Ошибка 3. В тупоугольном треугольнике считают только одну высоту. Вне фигуры оказываются лишь две высоты, но они всё равно пересекают прямые продолженных сторон под прямым углом. Продлите стороны и постройте перпендикуляры из всех трёх вершин.

Ошибка 4. Высоту путают с медианой или биссектрисой. Причина в том, что все три отрезка могут выходить из одной вершины. Проверьте свойство: высота перпендикулярна стороне, медиана делит её пополам, биссектриса делит угол пополам.

Связь с другими темами

Для построения высоты нужны знания о перпендикулярных прямых, прямом угле, вершинах и сторонах треугольника. Высота, медиана и биссектриса могут выходить из одной вершины, но определяются разными свойствами. Позже высота понадобится в формуле площади треугольника S = ½ah, а также при изучении прямоугольных и равнобедренных треугольников.

Что запомнить

• Высота треугольника — перпендикуляр из вершины к противоположной стороне или её продолжению.
• У треугольника три высоты.
• Основание высоты может лежать на стороне треугольника или на её продолжении.
• В остроугольном треугольнике все высоты находятся внутри.
• В прямоугольном треугольнике две стороны являются высотами.
• В тупоугольном треугольнике две высоты находятся вне треугольника.
• Высота, медиана и биссектриса — разные отрезки, хотя в отдельных треугольниках могут совпадать.