§ 5. Сравнение сторон и углов треугольника

Определения и обозначения

Сторона, лежащая напротив угла треугольника, называется противолежащей этому углу. В треугольнике ABC напротив угла A лежит сторона BC, напротив угла B — AC, напротив угла C — AB. Чтобы быстро найти такую сторону, смотри на вершину угла: у противолежащей стороны нет этой вершины. Это помогает не спутать нужную сторону с двумя сторонами, которые образуют угол.

Угол, лежащий напротив стороны треугольника, называется противолежащим этой стороне. Напротив AB находится угол C, напротив AC — угол B, напротив BC — угол A. Иными словами, у стороны и противолежащего ей угла разные буквенные обозначения вершины: AB и C, например. Такое соответствие позволяет переходить от сравнения сторон к сравнению углов.

Сравнивать стороны — значит устанавливать, какая из них длиннее или равна другой; сравнивать углы — выяснять, какой из них больше, меньше или равен другому. Например, запись AB > AC означает, что длина AB больше длины AC. В задачах нужно определить, какие углы лежат напротив этих сторон, и применить теорему о треугольнике. Само сравнение не означает, что длина стороны сопоставляется с величиной угла: сравниваются элементы одного вида, а затем устанавливается связь между ними.

Как это устроено

В △ABC легко определить противолежащие пары: у угла A противоположная сторона BC, у B — AC, у C — AB. Можно действовать и наоборот: чтобы найти угол напротив BC, посмотри, какая вершина не принадлежит этой стороне, — это A. Буквы здесь помогают проверять себя: у угла одна вершина, а сторона напротив неё соединяет две остальные. Так не приходится ориентироваться на расположение треугольника на рисунке.

Теорема утверждает: в треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Например, если AB > AC, то угол напротив AB — C, а напротив AC — B; следовательно, ∠C > ∠B. Сравнивать следует именно эти противолежащие пары, а не любые углы и стороны. Связь возникает потому, что более длинная сторона «раскрывается» напротив более широкого угла.

Причину теоремы можно увидеть с помощью построения и свойства внешнего угла. Пусть AB > AC; отметим на AB точку D так, чтобы AD = AC. Треугольник ACD равнобедренный, поэтому углы ACD и ADC равны; при этом угол ACB больше угла ACD, потому что он состоит из ACD и части BCD. Угол ADC — внешний для треугольника BCD, а внешний угол больше каждого внутреннего угла, не смежного с ним; значит, ADC больше угла B. Получаем ∠C > ∠B: более длинной стороне AB действительно противолежит больший угол.

Верно и обратное утверждение: против большего угла лежит большая сторона. Например, если ∠B > ∠C, то напротив B находится AC, а напротив C — AB, поэтому AC > AB. Это следует из теоремы о сторонах: если бы AB была больше AC, то угол C был бы больше B; равные стороны также дали бы равные противолежащие углы. Оба случая противоречат условию, значит, больше именно AC.

Если известен порядок углов, напротив них нужно поставить стороны в том же порядке. Например, при ∠A < ∠B < ∠C получаем BC < AC < AB: каждая сторона противоположна углу с соответствующей буквой. Так же можно рассуждать в обратном направлении, если известны длины сторон. Следовательно, наибольшая сторона лежит напротив наибольшего угла, а наименьшая — напротив наименьшего.

Соотношение сторон и противолежащих углов треугольника

Чтобы пользоваться таблицей, сначала определи, что дано: стороны или углы. Затем найди противолежащие элементы и сравни их в том же порядке. Таблица работает в обе стороны: от сторон к углам и от углов к сторонам.

Разбор задач

Задача 1. В треугольнике ABC известно, что AB > AC. Сравните углы C и B.

1. Сторона AB лежит напротив угла C: вершина C не входит в запись AB.
2. Сторона AC лежит напротив угла B: вершина B не входит в запись AC.
3. По теореме напротив большей стороны лежит больший угол. Так как AB > AC, то ∠C > ∠B.

Ответ: ∠C > ∠B. Сначала были сопоставлены противолежащие пары, поэтому прилегающие к углам стороны не перепутаны.

Задача 2. В треугольнике PQR угол P больше угла Q. Сравните стороны QR и PR.

1. Углу P противолежит сторона QR: точка P не является её концом.
2. Углу Q противолежит сторона PR: в названии PR нет вершины Q.
3. Применяем обратное утверждение: против большего угла находится большая сторона. Поскольку ∠P > ∠Q, получаем QR > PR.

Ответ: QR > PR. Названия сторон проверены по вершинам, которые не входят в каждую сторону.

Задача 3. Углы треугольника равны 40°, 60° и 80°. Расположите его стороны по возрастанию.

1. Расположим углы по возрастанию: 40° < 60° < 80°.
2. Для каждого угла найдём противоположную сторону. Если это углы A, B и C соответственно, то напротив них лежат BC, AC и AB.
3. Против большего угла лежит большая сторона, поэтому длины сторон идут в том же порядке, что и величины углов.

Ответ: BC < AC < AB, если ∠A = 40°, ∠B = 60°, ∠C = 80°. Если вершины обозначены иначе, нужно сохранить тот же порядок углов и заменить стороны на противолежащие им.

Типичные ошибки

Можно сопоставить угол со стороной, которая к нему прилегает, а не лежит напротив. Так ошибаются, потому что у угла две прилегающие стороны, и одна из них может бросаться в глаза на рисунке. Проверь себя: противолежащая сторона не содержит вершину этого угла. Например, напротив A лежит BC, а не AB или AC.

Ещё одна ошибка — решить, что большему углу соответствует меньшая сторона. Вероятно, так происходит из-за неверного представления о том, как «раскрывается» треугольник. На самом деле порядок совпадает: большему углу противолежит большая сторона, меньшему — меньшая. Для проверки выпиши пары и сопоставь их без изменения порядка.

Иногда путают прямое и обратное утверждения: если даны стороны, ищут углы, а если даны углы — снова применяют теорему в прежнем направлении. Сначала отметь, какие элементы уже сравнили, затем выбери нужную связь: большая сторона — больший противолежащий угол, или наоборот. После этого проверь буквами, что сравниваешь именно нужные пары. Такой порядок действий помогает не перепутать, что дано и что требуется найти.

Нельзя только из равенства углов сделать вывод о равенстве противолежащих сторон, не указав основание. Для равных углов и сторон используют отдельное свойство равнобедренного треугольника и его обратное утверждение. Ошибка возникает, когда строгое сравнение автоматически переносят на случай равенства. Проверь формулировку: если элементы равны, назови отдельное свойство, а не теорему о большей стороне.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно уметь обозначать треугольник, его стороны и углы, а также сравнивать длины отрезков и величины углов. Эти навыки позволяют правильно записать условие и найти противолежащие пары. Без них легко сравнить не те элементы.

Обоснование связи сторон и углов опирается на понятие внешнего угла треугольника и его свойство: внешний угол больше каждого внутреннего угла, не смежного с ним. Это свойство помогает объяснить, почему против большей стороны находится больший угол. Оно связывает построение внутри треугольника с нужным сравнением.

Сравнение сторон и углов пригодится в задачах о свойствах треугольников и при доказательстве неравенств. Например, по порядку углов можно определить, какая сторона длиннее, не измеряя её линейкой. А по сторонам — установить порядок углов.

Что запомнить

• Каждой стороне треугольника противолежит угол.
• Каждому углу треугольника противолежит сторона.
• Против большей стороны лежит больший угол.
• Против большего угла лежит большая сторона.
• Наибольшая сторона лежит напротив наибольшего угла.
• Наименьшая сторона лежит напротив наименьшего угла.