4.7. Доказательство способом от противного. Второй признак равенства треугольников

Определения и обозначения

Доказательство от противного — способ доказательства, при котором временно предполагают отрицание нужного утверждения и приходят к противоречию с условием или известным фактом. После этого исходное предположение признают неверным. Такой способ нужен, когда напрямую доказать утверждение трудно.

Второй признак равенства треугольников: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого, то треугольники равны. Он позволяет установить равенство фигур по трём заданным элементам. Обычно выбранную сторону обозначают одинаковыми буквами в соответствующих треугольниках.

Прилежащие к стороне углы — это два угла треугольника, вершины которых находятся на концах данной стороны. Например, к стороне AB прилежат углы A и B. Это уточнение необходимо, потому что любые два равных угла не дают возможности применить второй признак.

Равные треугольники — треугольники, которые можно совместить наложением. У них равны все соответствующие стороны и углы. Поэтому после доказательства равенства треугольников можно делать выводы о любых соответствующих элементах.

Как это устроено

В доказательстве от противного сначала точно формулируют цель, иначе невозможно правильно записать отрицание. Например, для утверждения «точки M и N совпадают» отрицанием будет «точки M и N не совпадают». Точное предположение задаёт направление дальнейших рассуждений и не позволяет заменить нужное утверждение приблизительной фразой.

Затем из предположения получают следствия, используя условие задачи и известные теоремы. Каждый шаг должен быть связан с предыдущим, чтобы было видно, откуда взялся новый факт. Противоречием станет не любое неудобное следствие, а только то, что невозможно вместе с условием или уже доказанным свойством.

Когда противоречие найдено, заключают, что временное предположение неверно. Если предполагалось отрицание утверждения, то неверность отрицания означает истинность исходного утверждения. Такой переход является логическим завершением доказательства, а не просто фразой «что и требовалось доказать».

Во втором признаке выбранная сторона задаёт общую основу для сравнения треугольников. Два угла при её концах определяют, в каком направлении из этих концов идут остальные стороны. Поэтому одинаковая сторона и одинаковые прилежащие углы заставляют треугольники совпасть при наложении.

Перед применением признака нужно установить соответствие вершин. Если AB = A₁B₁, то углу A должен соответствовать угол A₁, а углу B — угол B₁, если именно они прилегают к этим сторонам. Простая запись двух пар равных углов без проверки их положения не является достаточным доказательством.

Признаки равенства треугольников

Пользуясь таблицей, сначала найдите в условии известные равные элементы. Затем проверьте, соответствует ли их расположение одному из признаков.

Для второго признака особенно важно убедиться, что оба угла имеют вершины на концах выбранной стороны. После применения любого признака можно сравнивать остальные соответствующие элементы треугольников.

Разбор задач

Задача 1. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ равны AB и A₁B₁, углы A и A₁, углы B и B₁. Докажем равенство треугольников. Стороны AB и A₁B₁ имеют на концах именно вершины равных углов.

1. Сторона AB соответствует стороне A₁B₁.
2. Угол A прилежит к AB и равен углу A₁, а угол B прилежит к AB и равен углу B₁.
3. По второму признаку треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны.

Ответ: △ABC = △A₁B₁C₁.

Задача 2. В конфигурации с точками M и N по разные стороны от прямой l известны равенство AM и BM, а также пары равных углов ∠MAC и ∠CBD, ∠ACM и ∠BDC. Требуется доказать равенство соответствующих треугольников. Так как полная схема не задана, ключевым шагом будет выбор тех двух треугольников, в которых эти элементы действительно находятся.

1. На чертеже выделите равные стороны AM и BM и установите, какие вершины им соответствуют.
2. Проверьте, что ∠MAC и ∠CBD являются углами при концах выбранных соответствующих сторон, а вторая пара углов занимает такое же положение.
3. После проверки запишите соответствие вершин и примените второй признак равенства треугольников.
4. Из равенства выбранных треугольников получите требуемое равенство сторон, углов или точек.

Ответ: доказательство строится по второму признаку после проверки соответствия элементов на конфигурации.

Задача 3. Два треугольника имеют общую сторону, а углы, прилежащие к ней, равны. Докажем, что их третьи вершины совпадают способом от противного. Этот приём показывает, почему заданных элементов достаточно для единственного положения треугольника.

1. Предположим, что третьи вершины различны: вместо одной точки получаются точки C и C₁.
2. Тогда образуются два треугольника с одной и той же стороной и соответственно равными двумя прилежащими углами.
3. По второму признаку эти треугольники равны.
4. При равенстве соответствующие третьи вершины должны совпасть, то есть C = C₁, что противоречит предположению.

Ответ: третьи вершины совпадают.

Типичные ошибки

Неточное отрицание. Вместо точного «точки не совпадают» иногда говорят, что они просто по-разному расположены. Такая фраза может не быть отрицанием исходного утверждения. Проверьте, можно ли поставить её после слова «не» без изменения смысла.

Непонятное противоречие. Ошибочно считать противоречием любое неудобное следствие. Нужно назвать факт или условие, с которым оно несовместимо, например невозможное равенство одной и той же величины.

Неправильное применение второго признака. Равные сторона и углы могут быть взяты не в соответствующем положении, либо один угол не прилегает к стороне. Проверьте вершины углов: они должны находиться на концах выбранной стороны.

Перепутаны соответствующие элементы. После равенства треугольников нельзя сопоставлять стороны и углы произвольно. Сначала выпишите пары вершин, а затем переносите их порядок на стороны и углы.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны знания о треугольнике, его сторонах, углах и обозначении вершин. Также используются первый и третий признаки равенства треугольников, свойства равных углов и сторон. Позже доказательство от противного и второй признак помогут доказывать теоремы о треугольниках и решать задачи на равенство фигур.

Что запомнить

• В доказательстве от противного предполагают отрицание того, что требуется доказать.
• Предположение должно привести к противоречию с условием или известным фактом.
• Во втором признаке равны сторона и два прилежащих к ней угла.
• Соответствие вершин и элементов устанавливают до применения признака.
• Равенство треугольников означает равенство всех соответствующих сторон и углов.