4.6. Перпендикуляр. Единственность перпендикуляра

Определения и обозначения

Перпендикулярные прямые — это две пересекающиеся прямые, образующие четыре прямых угла. Их перпендикулярность записывают так: a ⟂ b. Такое обозначение сразу показывает, что прямые не просто пересекаются, а расположены под углом 90°.

Перпендикуляром к прямой называют отрезок прямой, проведённый из заданной точки к данной прямой под прямым углом. Например, если отрезок MH перпендикулярен прямой a, пишут MH ⟂ a. Это понятие нужно, чтобы соединять точку с прямой кратчайшим направленным отрезком и точно описывать построение.

Основание перпендикуляра — точка пересечения перпендикуляра с данной прямой. В записи MH ⟂ a, если H лежит на a, точка H является основанием перпендикуляра MH. На чертеже её отмечают буквой именно в месте, где отрезок встречается с прямой.

Как это устроено

Две прямые при пересечении образуют четыре угла. Если один из них прямой, то соседний угол тоже прямой, потому что сумма смежных углов равна 180°, а 180° − 90° = 90°. Вертикальные углы равны, поэтому и два оставшихся угла прямые. Так один прямой угол определяет взаимное положение обеих прямых.

Если заданная точка лежит на прямой, через неё проводят другую прямую так, чтобы один из получившихся углов был равен 90°. На чертеже прямой угол отмечают маленьким квадратиком с вершиной в точке пересечения. После этого по свойству смежных и вертикальных углов можно утверждать, что все четыре угла при пересечении прямых прямые.

Если точка M не лежит на прямой a, её соединяют с некоторой точкой H на этой прямой. Отрезок MH проводят так, чтобы угол между MH и a в точке H был прямым. Тогда H называют основанием, потому что именно там перпендикуляр заканчивается на данной прямой.

Через данную точку к данной прямой можно провести только один перпендикуляр. Причина в том, что через точку проходит единственная прямая, образующая с данной прямой прямой угол. Поэтому нельзя построить два разных направления, каждое из которых давало бы перпендикуляр к одной и той же прямой из одной точки.

В задачах слово «перпендикуляр» может обозначать разные объекты. Перпендикулярная прямая продолжается в обе стороны, а перпендикуляр-отрезок имеет начало в заданной точке и конец в основании. По условию и буквам на чертеже нужно определить, говорится о всей прямой или только о её части.

Перпендикуляр и его основание

Сначала определите, где находится заданная точка: на прямой или вне её. Затем найдите место пересечения и проверьте, отмечен ли там прямой угол. В последней строке таблицы используется свойство единственности: разные перпендикуляры из одной точки к одной прямой невозможны.

Разбор задач

Задача 1

На чертеже прямые a и b пересекаются в точке O. Угол между ними равен 90°. Как записать их взаимное положение? Нужно перевести условие о прямом угле в геометрическое обозначение.

1. Прямые a и b имеют общую точку O, значит, они пересекаются.
2. Угол при их пересечении равен 90°, следовательно, это прямой угол.
3. Две пересекающиеся прямые, образующие прямой угол, являются перпендикулярными.

Ответ: a ⟂ b.

Задача 2

Точка M не лежит на прямой a. Из M проведён отрезок MH, причём MH ⟂ a. Назовите перпендикуляр и его основание. Важно назвать отдельно отрезок и точку, в которой он заканчивается на данной прямой.

1. В условии прямо указано, что отрезок MH образует с прямой a угол 90°.
2. Значит, MH — перпендикуляр к прямой a.
3. Точка H лежит на a и является местом пересечения отрезка MH с этой прямой.

Ответ: перпендикуляр — MH, его основание — точка H.

Задача 3

Из точки M к прямой a провели два отрезка MH и MK, каждый из которых образует с a прямой угол. Может ли H отличаться от K? Рассуждение строится не на измерении отрезков, а на свойстве единственности.

1. Оба отрезка начинаются в одной точке M и перпендикулярны одной и той же прямой a.
2. Следовательно, каждый из них претендует быть перпендикуляром из M к a.
3. Но из одной точки к данной прямой можно провести только один перпендикуляр.
4. Поэтому отрезки MH и MK совпадают, а их концы на прямой также совпадают.

Ответ: H не может отличаться от K; H = K.

Типичные ошибки

Первая ошибка — назвать перпендикулярными непересекающиеся прямые. Их иногда считают перпендикулярными из-за похожего направления, но прямой угол появляется только в точке пересечения. Проверьте, есть ли общая точка и равен ли угол при ней 90°.

Вторая ошибка — считать основанием весь перпендикуляр. Основание — не отрезок, а одна точка на данной прямой. Чтобы проверить себя, найдите конец перпендикуляра, лежащий на исходной прямой.

Третья ошибка — путать прямую-перпендикуляр с отрезком-перпендикуляром. Прямая бесконечна, а отрезок ограничен заданной точкой и основанием. Сверяйте ответ с формулировкой: требуется назвать линию целиком или конкретный отрезок.

Четвёртая ошибка — предполагать, что из точки можно провести несколько перпендикуляров к одной прямой. Такое рассуждение нарушает свойство единственности. Если построений получилось два, проверьте: скорее всего, они на самом деле совпадают.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны знания о прямой, отрезке, пересечении прямых и прямом угле. Перпендикулярность используется при изучении расстояния от точки до прямой: длиной расстояния считают перпендикулярный отрезок. Единственность перпендикуляра помогает обосновывать построения и решать задачи на углы и взаимное расположение прямых.

Что запомнить

• Перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом.
• Обозначение перпендикулярности: a ⟂ b.
• Перпендикуляр к прямой проводят из заданной точки.
• Точка пересечения перпендикуляра с прямой — его основание.
• Из одной точки к данной прямой можно провести только один перпендикуляр.