4.5. Теорема о внешнем угле треугольника. Классификация треугольников

Определения и обозначения

Внешний угол треугольника — угол, образованный одной стороной треугольника и продолжением другой стороны за их общую вершину. Внутренний угол находится внутри треугольника, а внешний — снаружи и расположен рядом с внутренним углом при той же вершине. Это определение помогает понять, какой именно угол нужно искать или использовать в задаче.

Теорема о внешнем угле треугольника утверждает: внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Несмежными называют углы при двух других вершинах треугольника. Теорема позволяет находить неизвестный угол, даже если он не является частью простой пары смежных углов.

По величине углов треугольник бывает остроугольным, если все его углы острые, прямоугольным, если один угол прямой, или тупоугольным, если один угол тупой. Острый угол меньше 90°, прямой равен 90°, тупой больше 90°. Такая классификация сразу показывает, какие углы есть у фигуры.

По сторонам треугольники делят на равносторонние — все стороны равны, равнобедренные — две стороны равны, и разносторонние — все стороны имеют разную длину. Сравнение длин сторон помогает выбирать подходящие свойства треугольника. Классификация по сторонам не заменяет классификацию по углам.

Как это устроено

Когда сторону продолжили за вершину, внутренний угол при этой вершине и получившийся внешний угол образуют развернутый угол. Развернутый угол равен 180°, поэтому сумма этих двух углов тоже равна 180°. Это свойство смежных углов позволяет связать внешний угол с углами внутри треугольника.

Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°. Обозначим внутренний угол при вершине, где построен внешний, через α, а два других — через β и γ. Тогда α + β + γ = 180°, а из смежности внешний угол равен 180° − α. Поскольку β + γ тоже равны 180° − α, получаем: внешний угол = β + γ.

Каждый из двух несмежных углов положителен. Поэтому их сумма больше каждого из них по отдельности: например, β + γ > β и β + γ > γ. По теореме эта сумма и есть внешний угол. Значит, внешний угол треугольника больше каждого из двух внутренних углов, не смежных с ним.

Чтобы определить вид треугольника по углам, сравни каждый угол с 90°. Если все меньше 90°, треугольник остроугольный; если один равен 90° — прямоугольный; если один больше 90° — тупоугольный. Второго прямого угла быть не может: вместе они уже дали бы 180°, не оставив места третьему. Двух тупых углов тоже быть не может, потому что их сумма превысила бы 180°.

Для классификации по сторонам сравни длины всех трёх сторон: три равные означают равносторонний треугольник, ровно две равные — равнобедренный, три разные — разносторонний. Затем отдельно можно определить вид по углам: это другая классификация, и признаки не исключают друг друга. Например, треугольник может быть одновременно прямоугольным и равнобедренным.

Виды треугольников по углам и сторонам

Сначала выбери основание классификации: сравниваешь углы или стороны. Затем проверь определяющее свойство в таблице. Чтобы описать треугольник полностью, можно назвать по одному виду из каждой части таблицы.

Разбор задач

Задача 1. В треугольнике два внутренних угла, не смежных с внешним, равны 35° и 70°. Найти внешний угол. Здесь известны именно два угла, которые входят в сумму по теореме. Поэтому складываем их, не используя смежный внутренний угол.

1. По теореме внешний угол равен сумме двух несмежных внутренних углов.
2. Подставляем значения: 35° + 70° = 105°.

Ответ: внешний угол равен 105°. Проверка: он больше каждого из углов 35° и 70°, как и должно быть.

Задача 2. Внешний угол равен 125°, один из двух несмежных внутренних углов равен 55°. Найти второй. Внешний угол уже представляет собой сумму двух искомых слагаемых. Чтобы найти неизвестное слагаемое, вычтем известное из суммы.

1. Обозначим второй несмежный угол через x. Тогда 125° = 55° + x.
2. Вычитаем 55°: x = 125° − 55° = 70°.

Ответ: второй угол равен 70°. Проверка: 55° + 70° = 125°, значит, условие теоремы выполнено.

Задача 3. Стороны треугольника равны 5 см, 5 см и 8 см, а один из углов равен 100°. Нужно классифицировать его и найти внешний угол при вершине с углом 100°. По сторонам он равнобедренный, так как две стороны равны; по указанному углу он был бы тупоугольным. Однако все данные вместе несовместимы: у треугольника со сторонами 5, 5 и 8 угол напротив стороны 8 имеет косинус −0,28, то есть составляет примерно 106°, а не 100°.

1. По длинам сторон: две стороны равны, следовательно, треугольник равнобедренный.
2. Если учитывать только указанный угол 100°, классификация по углам — тупоугольный.
3. Смежный с углом 100° внешний угол вычисляется так: 180° − 100° = 80°.
4. Но треугольника, удовлетворяющего одновременно всем данным, не существует; значения классификации и внешнего угла относятся к условию с углом 100° отдельно.

Ответ: по сторонам — равнобедренный; по углу 100° — тупоугольный; внешний угол при нём равен 80°. Условие с длинами сторон и углом 100° противоречиво, поэтому такого треугольника нет.

Типичные ошибки

Ошибка — считать внешним любой угол, нарисованный рядом с треугольником. Его определяют не по расположению на рисунке, а по сторонам: одна сторона треугольника и продолжение другой должны образовать этот угол. Такую путаницу допускают, когда не отмечают, какие лучи образуют угол. Проверь себя: один луч должен быть стороной, другой — продолжением соседней стороны.

Ошибка — складывать внешний угол со смежным внутренним, применяя теорему о внешнем угле. Эти углы дают 180°, а теорема связывает внешний угол с двумя внутренними при других вершинах. Путаница возникает из-за слова «внешний» и соседства углов. Сначала отметь вершину внешнего угла: в сумму по теореме входят углы при двух остальных вершинах.

Ошибка — считать, что внешний угол равен одному несмежному внутреннему углу. На самом деле он равен сумме двух таких углов, поэтому обычно больше каждого из них. Ошибка появляется, если из теоремы запомнили только сравнение углов. Для проверки запиши равенство целиком и убедись, что учтены оба несмежных угла.

Ошибка — смешивать признаки по углам и сторонам или считать, что они исключают друг друга. Они отвечают на разные вопросы: о величинах углов и о длинах сторон. Например, треугольник можно назвать равнобедренным и прямоугольным одновременно. Проверяй два признака отдельно и называй результат по каждому из них.

Связь с другими темами

Для вывода теоремы нужны два знакомых факта: сумма внутренних углов треугольника равна 180°, а смежные углы в сумме дают 180°. Теорема о внешнем угле пригодится при вычислении неизвестных углов и в доказательствах о треугольниках. Классификация по углам и сторонам помогает выбирать нужные свойства при изучении треугольников, признаков их равенства и решении геометрических задач.

Что запомнить

• Внешний угол образован стороной треугольника и продолжением другой его стороны.
• Внешний угол и смежный с ним внутренний угол в сумме составляют 180°.
• Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
• Внешний угол больше каждого из двух несмежных внутренних углов.
• В треугольнике может быть не более одного прямого или тупого угла.
• Классифицировать треугольник можно одновременно по углам и по сторонам.