8.2. Построение перпендикулярных прямых

Определения и обозначения

Перпендикулярные прямые — это прямые, которые пересекаются под прямым углом, то есть под углом 90°. Перпендикулярность обозначают знаком ⟂: например, a ⟂ b. Это обозначение помогает коротко записывать условие задачи и показывать, какие именно прямые образуют прямой угол.

Перпендикуляр к прямой — отрезок прямой, проведённый из заданной точки и перпендикулярный данной прямой. Он нужен, когда требуется соединить точку с прямой под углом 90°, например при нахождении расстояния от точки до прямой. В построении особенно важно указать, из какой точки проведён перпендикуляр.

Основание перпендикуляра — точка пересечения перпендикуляра с данной прямой. Если из точки A к прямой a опущен перпендикуляр и он пересёк a в точке H, то H — основание перпендикуляра. Это название позволяет отличать сам отрезок AH от места, где он встречается с прямой.

Как это устроено

Самый простой способ провести перпендикуляр — воспользоваться угольником, у которого есть прямой угол. Одну сторону этого угла совмещают с данной прямой: тогда она задаёт одно направление. Через нужную точку проводят линию вдоль другой стороны угольника, потому что эти стороны уже образуют угол 90°. Если точка находится на прямой, линия пройдёт через неё; если точка вне прямой, угольник нужно расположить так, чтобы его сторона проходила через эту точку.

Если точка A лежит на прямой, циркулем сначала отмечают на прямой две точки B и C по разные стороны от A так, чтобы AB = AC. Затем строят точку, равноудалённую от B и C: для этого из B и C проводят дуги одинакового радиуса и отмечают место их пересечения. Соединяя такое место с A, получают серединный перпендикуляр к BC, а значит, и перпендикуляр к данной прямой. Равенство AB = AC нужно, чтобы A была серединой отрезка BC.

Построение верно благодаря свойству серединного перпендикуляра. Точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на прямой, которая проходит через середину отрезка и пересекает его под прямым углом. В предыдущем построении точка A равноудалена от B и C, а точка пересечения дуг — тоже. Значит, обе точки лежат на серединном перпендикуляре к BC, поэтому прямая через них и есть этот перпендикуляр.

Если точка A не лежит на прямой, проводят окружность с центром A так, чтобы она пересекла прямую в двух точках B и C. Поскольку B и C принадлежат окружности с центром A, AB = AC. Затем циркулем строят серединный перпендикуляр к BC: например, проводят из B и C дуги одного и того же радиуса, большего половины BC, и соединяют точки пересечения дуг. Прямая проходит через A, ведь A равноудалена от B и C; место, где она пересекает исходную прямую, и будет основанием перпендикуляра.

Через заданную точку к данной прямой можно провести только один перпендикуляр. Если бы через точку проходили две разные прямые, каждая перпендикулярная исходной, то они обе образовали бы с ней прямые углы. Но через точку на прямой нельзя построить два разных луча, каждый из которых перпендикулярен одному и тому же направлению прямой. Поэтому перпендикулярное направление единственно.

Способы построения перпендикулярной прямой

Сначала найди в таблице ситуацию, которая совпадает с условием: точка лежит на прямой или находится вне неё. Затем выбери подходящие инструменты и выполняй действия по порядку. В последнем столбце указано, какое свойство объясняет результат и помогает проверить построение.

Разбор задач

Задача 1. Через точку A, лежащую на прямой a, проведите перпендикуляр к a с помощью угольника. Здесь не требуется строить дополнительные точки, потому что прямой угол уже есть у инструмента. Нужно правильно совместить угольник с прямой и точкой. После этого одна сторона угольника укажет искомое направление.

1. Положите угольник так, чтобы одна сторона его прямого угла лежала на прямой a.
2. Передвигайте угольник вдоль прямой, пока другая сторона прямого угла не пройдёт через A.
3. Проведите по этой стороне линию через A и обозначьте её, например, b.

Угол между a и b равен 90°, поэтому a ⟂ b. Проверьте, что сторона угольника действительно совпадает с прямой, а не просто расположена рядом. Ответ: прямая b, проведённая через A вдоль второй стороны прямого угла угольника.

Задача 2. Через точку A на прямой a постройте перпендикуляр циркулем и линейкой. Сначала нужно превратить точку A в середину отрезка, лежащего на прямой. Тогда задача сведётся к построению серединного перпендикуляра к этому отрезку. Линейка здесь служит для проведения прямой через найденные точки, а циркуль — для сохранения равных расстояний.

1. Поставьте иглу циркуля в A и отметьте на прямой a две точки B и C по разные стороны от A.
2. Проверьте, что AB = AC; отрезок BC тогда имеет середину A.
3. Выберите радиус больше половины BC. Проведите этим радиусом дуги с центрами B и C, чтобы они пересеклись в точке D.
4. Проведите линейкой прямую AD.

Из построения следует, что DB = DC, а также AB = AC. Поэтому A и D лежат на серединном перпендикуляре к BC, и прямая AD перпендикулярна BC. Так как BC лежит на a, получаем AD ⟂ a. Ответ: прямая AD.

Задача 3. Из точки A вне прямой a опустите перпендикуляр на a циркулем и линейкой. Точки пересечения окружности с прямой должны находиться на одинаковом расстоянии от A. Это даст отрезок BC, серединный перпендикуляр к которому пройдёт через A. Его пересечение с a и будет искомой точкой.

1. Поставьте иглу циркуля в A и проведите окружность так, чтобы она пересекла a в двух точках B и C.
2. Из B и C проведите дуги одинакового радиуса, большего половины BC, и отметьте их пересечения.
3. Линейкой проведите прямую через точки пересечения дуг. Она пройдёт через A, потому что AB = AC.
4. Обозначьте точку пересечения этой прямой с a буквой H.

Прямая AH — серединный перпендикуляр к BC, поэтому она образует прямой угол с BC и, следовательно, с a. Точка H лежит на a, значит, это основание перпендикуляра. Ответ: перпендикуляр AH, основание H.

Типичные ошибки

Ошибка — считать прямые перпендикулярными только потому, что угол на рисунке выглядит прямым. Чертёж может быть выполнен неточно, поэтому такой вывод не подтверждён. Проверяй угол угольником или обосновывай построение свойством серединного перпендикуляра. На рисунок можно опираться как на подсказку, но не как на доказательство.

При работе угольником иногда его сторона не совпадает с данной прямой. Тогда проведённая линия образует прямой угол не с прямой, а с направлением, заданным краем угольника. Совмести сторону с прямой по всей её длине и проверь, проходит ли другая сторона через требуемую точку. Только после этого проводи линию.

При построении серединного перпендикуляра ошибочно брать разные радиусы для дуг из концов отрезка. Полученные точки пересечения не будут равноудалены от концов, поэтому прямая через них не обязана делить отрезок пополам под прямым углом. Используй один и тот же радиус, обязательно больший половины отрезка, и проверь, что дуги пересекаются. Тогда их общие точки окажутся равноудалены от концов.

Не путай перпендикуляр с основанием перпендикуляра: первый — прямая или отрезок, второй — точка на данной прямой. Ошибка возникает, когда вместо ответа о построенном отрезке называют только точку его пересечения с прямой или наоборот. Проверь, что именно спрашивает задача: провести перпендикуляр или указать его основание. Например, в отрезке AH перпендикуляр — AH, а основание — H.

Связь с другими темами

Для построения нужно знать, как распознать прямой угол, что такое пересекающиеся прямые и окружность, а также что означает равное расстояние между точками. Без этих понятий не получится объяснить, почему проведённая линия перпендикулярна исходной. Построенный перпендикуляр помогает находить расстояние от точки до прямой и проводить высоты треугольника. В обоих случаях используется отрезок, который соединяет точку с прямой под углом 90°.

Связь с серединным перпендикуляром особенно важна для построений циркулем и линейкой. Серединный перпендикуляр проходит через точки, равноудалённые от концов отрезка, поэтому позволяет находить нужное направление без угольника. В задаче на перпендикуляр к прямой отрезок между двумя точками прямой становится основой такого построения. Именно так свойство равноудалённых точек превращается в практический способ провести прямой угол.

Что запомнить

• Перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом.
• Через точку можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной.
• Перпендикуляр из точки к прямой образует с ней угол 90°.
• Основание перпендикуляра лежит на данной прямой.
• Серединный перпендикуляр к отрезку проходит через точки, равноудалённые от его концов.
• Проверять построение нужно по его шагам и обоснованию, а не только по виду чертежа.