8.1. Перпендикулярность прямых

Определения и обозначения

Прямой угол — угол, величина которого равна 90°. Его можно распознать по чертёжному угольнику: две стороны, образующие прямой угол угольника, расположены именно так. Это понятие нужно, чтобы точно описывать направление прямых, а не оценивать его только на глаз.

Перпендикулярные прямые — две пересекающиеся прямые, образующие четыре прямых угла. Иными словами, они встречаются так, что ни один из углов между ними не острый и не тупой. Определение помогает отличить перпендикулярность от обычного пересечения, при котором углы могут иметь другие величины.

Знак перпендикулярности — обозначение a ⟂ b, показывающее, что прямые a и b перпендикулярны. Читают эту запись так: прямая a перпендикулярна прямой b. Знак удобен в чертежах и решениях: он коротко фиксирует установленное свойство двух прямых.

Точка пересечения перпендикулярных прямых — общая точка двух прямых, в которой образуются прямые углы. Через неё проходят обе прямые, поэтому она принадлежит каждой из них. Это понятие нужно, чтобы точно указывать место пересечения и строить перпендикуляр в заданной точке.

Как это устроено

Когда две прямые пересекаются, каждая из них делит плоскость вокруг точки пересечения на две части. Вместе они образуют четыре угловые области, поэтому возникают четыре угла. Углы, лежащие напротив друг друга, называют вертикальными; их стороны являются продолжениями сторон друг друга, и такие углы равны. Соседние углы имеют общую сторону, а две другие стороны образуют прямую линию, поэтому их сумма равна 180°.

Чтобы доказать перпендикулярность, не требуется отдельно измерять все четыре угла. Если один угол равен 90°, то смежный с ним равен 180° − 90° = 90°. Вертикальный ему угол равен первому, а четвёртый — вертикален смежному. Следовательно, все четыре угла прямые, и прямые соответствуют определению перпендикулярных.

Величина одного угла позволяет решить, являются ли пересекающиеся прямые перпендикулярными. Если угол равен ровно 90°, прямые перпендикулярны; если он, например, равен 70°, то они не перпендикулярны. Не нужно сравнивать длины сторон угла или полагаться на то, как он выглядит на рисунке. В геометрии вывод делают по указанной величине или по доказанному равенству.

Через заданную точку к данной прямой можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Существование можно увидеть при построении угольником, а единственность означает, что второй прямой, проходящей через ту же точку и образующей с данной прямые углы, быть не может. Если бы такая прямая была ещё одна, в точке пересечения получились бы два разных направления прямого угла к одной и той же прямой, что невозможно. Поэтому построенный перпендикуляр определяется однозначно.

Для построения приложи угольник к прямой так, чтобы один из катетов его прямого угла лёг на эту прямую. Если перпендикуляр нужно провести через точку на прямой, совмести с ней вершину прямого угла угольника. Проведи линию вдоль второго катета: она пересечёт данную прямую под углом 90°. После построения проверь, что вершина прямого угла угольника совпала с заданной точкой, а его сторона — с прямой.

Перпендикулярные прямые: определения, признаки и свойства

Сначала найди в таблице условие, которое дано в задаче, а затем прочитай соответствующее следствие. Например, из прямого угла при пересечении можно сразу заключить, что прямые перпендикулярны. Свойства смежных и вертикальных углов помогают обосновать этот вывод.

Разбор задач

Задача 1. Прямые a и b пересекаются, причём один из образованных углов равен 90°. Определить, перпендикулярны ли прямые. Нужно понять, достаточно ли одного такого угла, чтобы выполнить определение, где говорится о четырёх прямых углах. Для этого используем связи между углами при пересечении.

1. Обозначим угол величиной 90°. Соседний с ним угол смежный, поэтому вместе они составляют 180°. Его величина равна 180° − 90° = 90°.
2. Угол, вертикальный первому, равен ему и тоже равен 90°. Последний угол вертикален смежному, поэтому он также равен 90°.
3. Все четыре угла прямые. По определению прямые a и b перпендикулярны.

Ответ: да, a ⟂ b. Ход решения показывает, почему для вывода достаточно проверить один угол, а не измерять каждый отдельно.

Задача 2. При пересечении прямых один угол равен 90°. Найти величины трёх остальных углов. Сначала определим углы, соседние с данным: они смежные, поэтому каждый дополняет прямой угол до развёрнутого. После этого найдём угол напротив исходного.

1. Каждый из двух углов, смежных с данным, равен 180° − 90° = 90°. Здесь используется свойство смежных углов: их сумма составляет 180°.
2. Оставшийся угол вертикален исходному. Вертикальные углы равны, поэтому его величина тоже 90°.
3. Получили три угла по 90°. Вместе с исходным они составляют четыре прямых угла, как и должно быть при перпендикулярных прямых.

Ответ: 90°, 90° и 90°. Если при пересечении один угол прямой, остальные не могут оказаться острыми или тупыми.

Задача 3. Через точку A, лежащую на прямой m, провести прямую, перпендикулярную m, и обосновать единственность построения. Здесь важны две части: сначала нужно выполнить построение, затем объяснить, почему другой подходящей прямой быть не может.

1. Приложим чертёжный угольник так, чтобы один катет совпал с прямой m, а вершина его прямого угла оказалась в точке A.
2. Проведём через A линию вдоль второго катета. Стороны прямого угла угольника образуют угол 90°, поэтому проведённая линия перпендикулярна m.
3. Через точку A к прямой m существует только одна перпендикулярная прямая. Следовательно, построенная линия единственная, и второй правильный вариант провести нельзя.

Ответ: через A проведена единственная прямая, перпендикулярная m. Угольник позволяет построить прямой угол, а свойство единственности обосновывает, что искомая прямая только одна.

Типичные ошибки

Ошибка: считать перпендикулярными любые две пересекающиеся прямые. Так можно подумать, потому что на чертеже все пересечения выглядят похожими, но величины углов бывают разными. Перпендикулярность требует четырёх прямых углов. Проверь, известна ли величина хотя бы одного угла и равна ли она 90°.

Ошибка: путать перпендикулярные прямые с параллельными. Оба понятия описывают взаимное расположение прямых, но параллельные прямые не пересекаются, а перпендикулярные имеют общую точку. Чтобы проверить себя, найди, пересекаются ли прямые: если нет, перпендикулярными они быть не могут.

Ошибка: утверждать, что угол прямой, потому что он на рисунке похож на прямой. Чертёж может быть выполнен неточно или не в масштабе, поэтому зрительное впечатление не является доказательством. Установи величину угла по условию, измерению угольником или вычислению. Только равенство 90° позволяет применить признак перпендикулярности.

Ошибка: ставить знак ⟂ между углом и прямой или между отрезком и числом. Этот знак обозначает отношение перпендикулярности именно двух прямых, поэтому запись должна выглядеть, например, как a ⟂ b. Перед записью проверь, что по обе стороны знака стоят обозначения прямых, а не величина угла или число.

Связь с другими темами

Для работы с перпендикулярностью нужно знать виды углов, величины прямого и развёрнутого углов, а также свойства смежных и вертикальных углов. Они объясняют, почему из одного прямого угла можно сделать вывод об остальных. Без этих свойств доказательство пришлось бы строить заново для каждого угла.

Перпендикулярность пригодится при построении высот треугольника, перпендикуляров и расстояния от точки до прямой. Высота связана с прямой, проходящей из вершины под прямым углом к противоположной стороне или её продолжению. Поэтому умение распознавать и строить прямой угол помогает выполнять чертежи и решать задачи о расстояниях.

Перпендикулярность используют при изучении прямоугольных фигур и координатной плоскости. Она также помогает доказывать геометрические свойства: например, обосновывать наличие прямого угла или взаимное расположение линий. Позже это понятие станет частью более сложных рассуждений о фигурах.

Что запомнить

• Прямой угол равен 90°.
• Перпендикулярные прямые пересекаются и образуют четыре прямых угла.
• Перпендикулярность обозначают знаком ⟂.
• Если один угол при пересечении прямых прямой, то прямые перпендикулярны.
• Смежные и вертикальные углы при пересечении перпендикулярных прямых также прямые.
• Через заданную точку можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной прямой.