7.2. Конус. Развёртка конуса

Определения и обозначения

Конус — тело, состоящее из круга-основания, точки вне его плоскости и всех отрезков, соединяющих эту точку с точками круга. Представь, что от одной точки протянуты отрезки ко всем точкам круглой площадки: вместе они образуют тело. Это определение помогает отличить конус от плоской фигуры и увидеть, что у него есть основание и боковая поверхность.

Вершина конуса — точка вне плоскости основания, с которой соединены точки круга основания. Именно к этой точке сходятся отрезки, образующие боковую поверхность. Обозначив вершину буквой S, удобнее описывать и изображать конус.

Образующая конуса — отрезок, соединяющий вершину конуса с точкой окружности основания. Обычно её длину обозначают l. Образующие лежат на боковой поверхности, поэтому это обозначение понадобится, когда мы будем связывать конус с сектором в развёртке.

Развёртка конуса — плоская фигура, полученная при совмещении боковой поверхности конуса с плоскостью. Она показывает, какую форму имеет поверхность, если её разрезать и разложить. Такое изображение нужно, чтобы находить длину дуги и угол сектора, а также представлять, как плоская фигура складывается в объёмное тело.

Как это устроено

Чтобы мысленно построить конус, возьми круг и точку вне его плоскости. Соедини эту точку с каждой точкой круга: все получившиеся отрезки заполняют тело между кругом и вершиной. Круг служит основанием, а наклонная поверхность, натянутая между окружностью и вершиной, называется боковой. Такое представление объясняет, почему основание плоское, а боковая поверхность охватывает конус сбоку.

В прямом конусе вершина находится над центром основания. Отрезок от вершины к центру перпендикулярен плоскости основания, поэтому он задаёт высоту и ось конуса; ось проходит через вершину и центр. Высота показывает кратчайшее расстояние от вершины до плоскости основания. Отрезки от вершины к точкам окружности — образующие: они идут по боковой поверхности, а не перпендикулярно основанию.

При развёртывании боковую поверхность разрезают по одной образующей и расправляют. Все образующие выходят из одной точки, поэтому расправленная поверхность имеет вид сектора круга, а длина каждой образующей становится расстоянием от центра сектора до его дуги. Основание при этом не входит в боковую поверхность и остаётся отдельным кругом. Поэтому полная развёртка включает сектор и круг основания.

Край сектора, который был окружностью основания, после расправления становится дугой. Когда сектор снова складывают в конус, эта дуга должна обойти всё основание, значит, её длина равна длине окружности основания: 2πr. Радиус сектора равен образующей l, и длина всей окружности такого круга была бы 2πl. Доля сектора от полного круга равна отношению 2πr к 2πl, то есть r/l, поэтому центральный угол α = 360° · r/l.

Элементы конуса и их связь с развёрткой

Читайте таблицу от названия элемента к тому, как он выглядит на конусе и на плоскости. Особенно полезно проследить переход от образующей к радиусу сектора и от окружности основания к дуге. Так легче выбрать нужную формулу и не перепутать r с l.

Разбор задач

Задача: постройте эскиз конуса и обозначьте его вершину, центр основания, радиус основания, высоту и образующую. Сначала важно показать, что высота и образующая — разные отрезки: одна приходит в центр основания, другая — на его окружность. Для эскиза можно нарисовать основание в виде овала, чтобы передать его положение в пространстве. Скрытую часть окружности обычно изображают пунктиром.

1. Нарисуйте овал и отметьте его центр O; это условное изображение круглого основания.
2. Поставьте над овалом точку S — вершину конуса. Проведите от S к центру O отрезок SO и обозначьте его как высоту h; отметьте прямой угол у основания высоты.
3. На окружности выберите точку A и соедините её с S. Отрезок SA обозначьте l — это образующая. От центра O до точки окружности проведите радиус OA и обозначьте r.

Проверка: высота должна быть перпендикулярна плоскости основания и заканчиваться в центре, а образующая — касаться края основания. Задача: радиус основания равен 3 см, образующая — 5 см; найдите длину дуги сектора. Эта дуга при складывании станет окружностью основания, поэтому для ответа образующая не нужна.

1. Запишите формулу длины окружности основания: C = 2πr.
2. Подставьте r = 3 см: C = 2π · 3 = 6π см.
3. Приравняйте длину дуги сектора к полученной длине окружности.

Ответ: 6π см, или примерно 18,85 см. Задача: при r = 4 см и l = 12 см найдите центральный угол сектора. Полный круг радиуса l соответствует 360°, а нужная дуга занимает долю r/l от его окружности.

1. Запишите отношение угла к полному углу: α/360° = r/l.
2. Подставьте значения: α/360° = 4/12 = 1/3.
3. Умножьте 360° на 1/3: α = 120°.

Ответ: 120°. Угол получился меньше 360°, потому что радиус основания меньше образующей и дуга сектора короче полной окружности радиуса l.

Типичные ошибки

Ошибка: называть образующей высоту. Их путают, потому что оба отрезка начинаются в вершине, но высота перпендикулярна плоскости основания и приходит в центр, а образующая заканчивается на окружности. Чтобы проверить обозначения на рисунке, проследи, куда приходит каждый отрезок. Если второй конец образующей отмечен в центре основания, это не образующая.

Ошибка: считать радиус сектора равным радиусу основания. Так происходит из-за того, что оба отрезка связаны с кругом, но радиус сектора получается из образующей при расправлении боковой поверхности. Проверь, что от центра сектора до его дуги отложена длина l. Радиус основания r задаёт не радиус сектора, а длину его дуги.

Ошибка: включать в развёртку только сектор или забывать круг основания. Сектор показывает лишь боковую поверхность, а основание — отдельная часть поверхности конуса. Из-за похожего на круг основания края сектора легко решить, что другого круга не нужно. Проверь развёртку по составу: в ней должны быть сектор и отдельный круг радиуса r.

Ошибка: сравнивать дугу сектора с окружностью радиуса l. Радиус l задаёт полный круг, частью которого является сектор, но при складывании его дуга замыкается вокруг основания. Поэтому длину дуги приравнивают к 2πr, а не к 2πl. Самопроверка: для угла используй пропорцию α/360° = r/l, где в числителе стоит радиус основания.

Связь с другими темами

Для работы с конусом понадобятся понятия круга, окружности и радиуса, а также формула длины окружности C = 2πr. Нужно уметь понимать, что значит перпендикуляр к плоскости: это помогает отличать высоту от наклонной образующей. Знание развёртки связывает геометрию на плоскости с пространственными телами. Позже оно пригодится для вычисления площади боковой и полной поверхности конуса и решения задач о других телах.

Что запомнить

• Конус имеет одно круглое основание и одну вершину.
• Образующая соединяет вершину с точкой окружности основания.
• Высота конуса перпендикулярна плоскости основания.
• Развёртка боковой поверхности конуса — сектор круга.
• Радиус сектора развёртки равен образующей конуса.
• Длина дуги сектора равна длине окружности основания.