"Геометрия", Козлова С.А., Рубин А.Г., Гусев В.А.
Когда две прямые пересекаются, они образуют четыре угла, связанные простыми правилами. Соседние углы имеют общую сторону и в сумме дают 180°, а противоположные углы равны. Эти свойства помогают находить неизвестные углы без измерений и служат основой для решения геометрических задач. Разобравшись, как распознавать пары углов, легко вычислить все четыре угла, если известен хотя бы один.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Пересекающиеся прямые — это прямые, имеющие одну общую точку; её называют точкой пересечения. Например, если прямые a и b пересеклись в точке O, то O — их общая точка. Это название помогает коротко описать взаимное расположение прямых и указать место, где образуются углы.
Вертикальные углы — это углы, стороны одного из которых являются продолжениями сторон другого. Такая пара лежит напротив: между её углами нет общей стороны, но есть общая вершина. Чтобы распознать вертикальные углы, проверь, что каждая сторона одного угла продолжается в сторону соответствующей стороны второго.
Смежные углы — это углы с общей вершиной и общей стороной, у которых две другие стороны являются продолжениями одна другой. Иными словами, они стоят рядом, а их внешние стороны образуют прямую линию. Это определение нужно, чтобы отличать смежные углы от противоположных и применять правило об их сумме.
У пересекающихся прямых есть одна общая вершина, а четыре луча, выходящие из неё, делят плоскость вокруг точки на четыре части. Каждая часть образует угол, поэтому при пересечении получаются четыре угла. Их можно обозначить, например, ∠1, ∠2, ∠3 и ∠4, двигаясь по порядку вокруг вершины. Тогда пары соседних углов — ∠1 и ∠2, ∠2 и ∠3, ∠3 и ∠4, ∠4 и ∠1, а противоположные пары — ∠1 и ∠3, ∠2 и ∠4.
У двух соседних углов есть общая сторона, а две другие стороны лежат на одной прямой и направлены в разные стороны. Поэтому вместе эти углы составляют развёрнутый угол, величина которого равна 180°. Значит, если один соседний угол равен α, второй равен 180° − α. Это правило относится к каждой паре смежных углов при пересечении прямых.
Противоположные углы при пересечении прямых являются вертикальными. Например, у углов ∠1 и ∠3 стороны попарно продолжают друг друга, поэтому эти углы лежат напротив и подходят под определение вертикальных. То же верно для пары ∠2 и ∠4. Здесь важно проверять продолжения сторон, а не только наличие общей вершины.
Вертикальные углы равны, потому что каждый из них смежен с одним и тем же углом. Если ∠1 и ∠3 вертикальные, то каждый из них вместе с ∠2 образует 180°: ∠1 = 180° − ∠2 и ∠3 = 180° − ∠2. Следовательно, ∠1 = ∠3. Такое объяснение показывает, откуда берётся равенство, а не просто предлагает запомнить его.
Если известен один угол, сначала найди его противоположный: он равен известному. Затем найди два соседних угла, вычитая известную величину из 180°. Например, при известном угле 70° противоположный тоже равен 70°, а каждый из соседних равен 110°. Проверка простая: соседние углы в сумме дают 180°.
| Пара углов | Как расположены | Что можно утверждать |
|---|---|---|
| Смежные углы | Рядом, имеют общую сторону; две другие стороны продолжают друг друга | Их сумма равна 180° |
| Вертикальные углы | Напротив друг друга; стороны одного продолжают стороны другого | Они равны |
| Все четыре угла при пересечении прямых | Расположены вокруг общей вершины; образуют две пары вертикальных углов и четыре пары смежных | Вертикальные пары равны, а любые соседние углы в сумме дают 180° |
Сначала найди в таблице подходящую пару по расположению, а затем используй свойство из последнего столбца. Если углы стоят напротив, применяй равенство вертикальных углов; если рядом — складывай их величины до 180°. Для всех четырёх углов сочетай оба правила.
Задача 1. Две прямые пересекаются. Один из образовавшихся углов равен 48°. Найдите смежный с ним угол. Нужно найти угол, который стоит рядом с данным, поэтому используем сумму смежных углов, а не равенство вертикальных.
Ответ: 132°. Проверка: 48° + 132° = 180°, значит, найденные углы действительно могут быть смежными.
Задача 2. Две прямые пересекаются, один угол равен 127°. Найдите вертикальный ему угол и два смежных угла. Сначала используем расположение противоположной пары, а затем найдём соседние углы через их сумму. Так мы не перепутаем, какой угол равен данному, а какой дополняет его до 180°.
Ответ: вертикальный угол — 127°, два смежных угла — по 53°. Они равны между собой, поскольку оба смежны с углом 127°.
Задача 3. При пересечении двух прямых один из углов на 36° больше смежного с ним. Найдите все четыре угла. Обозначим меньший угол буквой x; тогда больший равен x + 36°. Смежные углы дают 180°, и это позволяет составить уравнение с одним неизвестным.
Ответ: 72°, 108°, 72° и 108°. Проверка: соседние углы 72° и 108° в сумме дают 180°, а противоположные равны.
Ошибка — считать вертикальными любые углы с общей вершиной. Их вершина действительно общая, но этого недостаточно: вертикальные углы должны лежать напротив, а стороны одного должны продолжать стороны другого. Такую ошибку допускают, когда смотрят только на точку пересечения. Проверь положение пары и продолжения сторон — это сразу покажет, вертикальные ли углы перед тобой.
Вертикальные углы часто путают со смежными, потому что обе пары имеют общую вершину. Но смежные углы стоят рядом и имеют общую сторону, а вертикальные расположены напротив и общей стороны не имеют. Сравнивай не только вершину, но и положение углов. Если есть общая сторона — это смежная пара; если стороны попарно продолжаются — вертикальная.
Нельзя утверждать, что смежные углы всегда равны: по правилу их сумма равна 180°. Вероятно, ошибка возникает из-за того, что при пересечении прямых обе пары соседних углов выглядят похожими. Равными смежные будут только в частном случае, когда каждый равен 90°. Проверь сумму и не делай вывод о равенстве без дополнительного условия.
Вертикальный угол не нужно находить как 180° минус данный: он равен данному. Вычитание из 180° используют для смежного угла, и путаница появляется, когда оба правила вспоминают одновременно. Перед вычислением определи, где расположен искомый угол. Если он напротив — оставь величину без изменения, если рядом — вычти её из 180°.
Для изучения темы нужно знать, что такое угол, где находятся его вершина и стороны, и как измерять величину угла в градусах. Также пригодится умение находить недостающее слагаемое, если сумма равна 180°, и представлять лучи, являющиеся продолжениями друг друга. Эти навыки помогают применять свойства пересекающихся прямых в задачах на углы. Позже те же рассуждения пригодятся при изучении параллельных прямых.
Сколько углов образуется при пересечении двух прямых?
При пересечении двух прямых образуются четыре угла с общей вершиной. Они расположены вокруг точки пересечения.
Как отличить вертикальные углы от смежных?
Вертикальные углы лежат напротив друг друга, и стороны одного являются продолжениями сторон другого. Смежные углы стоят рядом: у них общая сторона, а две остальные стороны продолжают друг друга.
Почему вертикальные углы равны?
Каждый из двух вертикальных углов смежен с одним и тем же соседним углом. Оба вместе с ним составляют 180°, поэтому величины вертикальных углов одинаковы.
Как найти смежный угол, если известен один из углов?
Из 180° вычти величину известного угла. Например, если он равен 48°, смежный равен 180° − 48° = 132°.
Можно ли по одному углу при пересечении прямых найти все остальные?
Да. Противоположный угол равен известному, а каждый из двух соседних дополняет его до 180°. Так можно определить все четыре угла.
7.1. Понятие пересекающихся прямых. Вертикальные углы
