"Геометрия", Козлова С.А., Рубин А.Г., Гусев В.А.
Две прямые на плоскости могут пересекаться или не иметь общих точек; во втором случае они параллельны. Если прямые пересекаются под прямым углом, они перпендикулярны. Связь прямых удобно исследовать с помощью углов, которые образуются при пересечении секущей с двумя прямыми. Равенство накрест лежащих или соответственных углов, а также сумма односторонних углов 180° помогают установить, параллельны ли прямые.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Пересекающиеся прямые — прямые, имеющие ровно одну общую точку. Если две различные прямые на плоскости пересеклись, других общих точек у них быть не может. Понятие помогает отличить случай пересечения от параллельности.
Параллельные прямые — прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Их записывают так: a ∥ b; знак ∥ означает «параллельна». Это обозначение удобно, когда нужно кратко записать взаимное расположение прямых или использовать его в доказательстве.
Перпендикулярные прямые — пересекающиеся прямые, которые образуют прямой угол, то есть угол величиной 90°. Запись a ⟂ b читается «a перпендикулярна b». Она указывает не просто на пересечение, а на особый угол между прямыми.
Секущая — прямая, пересекающая две другие прямые в разных точках. Благодаря двум точкам пересечения можно сравнивать углы, образованные секущей с каждой из прямых. Такое сравнение помогает выяснить, параллельны ли эти прямые.
На плоскости две различные прямые не могут иметь две общие точки: через любые две точки проходит только одна прямая. Поэтому у них либо есть одна общая точка, либо нет общих точек вовсе. Во втором случае прямые называют параллельными, но важно, что обе они должны лежать в одной плоскости.
При пересечении двух прямых возникают четыре угла. Углы, расположенные напротив друг друга, называются вертикальными: каждый из них смежен с одним и тем же соседним углом. Поскольку смежные углы в сумме дают 180°, вертикальные углы равны. Соседние углы имеют общую сторону, а две другие стороны образуют прямую линию, поэтому их сумма также равна 180°.
Когда прямую, называемую секущей, проводят через две другие прямые, у каждой точки пересечения появляются четыре угла. Накрест лежащие углы находятся между двумя прямыми, но по разные стороны секущей. Соответственные углы занимают одинаковое положение у двух пересечений, а односторонние лежат между прямыми по одну сторону секущей. Чтобы не перепутать пары, сначала отметьте внутреннюю область между прямыми, а затем проследите, по какую сторону секущей расположен каждый угол.
Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны; то же верно, когда равны соответственные углы. Причина в том, что при непараллельных прямых их направления при пересечении секущей дают разные величины углов соответствующих типов. Поэтому равенство нужной пары позволяет сделать вывод о параллельности, а не только описывает рисунок.
При параллельных прямых односторонние углы в сумме дают 180°. Это связано с тем, что секущая образует равные накрест лежащие углы, а смежные углы дополняют друг друга до развёрнутого угла. Верно и обратное: если сумма односторонних углов равна 180°, прямые параллельны. Значит, сумму используют как признак параллельности.
| Случай или признак | Что происходит | Условие по углам |
|---|---|---|
| Пересекающиеся прямые | Имеют ровно одну общую точку. | Смежные углы в сумме дают 180°, вертикальные равны. |
| Параллельные прямые | Лежат в одной плоскости и не пересекаются. | Накрест лежащие и соответственные углы равны; сумма односторонних равна 180°. |
| Перпендикулярные прямые | Пересекаются под прямым углом. | Каждый из образованных углов равен 90°. |
| Равенство накрест лежащих углов | Прямые параллельны. | Накрест лежащие углы равны. |
| Равенство соответственных углов | Прямые параллельны. | Соответственные углы равны. |
| Сумма односторонних углов равна 180° | Прямые параллельны. | Односторонние углы в сумме дают 180°. |
Сначала определите, какой случай или какая пара углов дана в задаче. Затем найдите подходящее условие в последнем столбце и проверьте, позволяет ли оно сделать нужный вывод. Строки о признаках применяют, чтобы доказать параллельность, а строку о параллельных прямых — чтобы использовать их угловые свойства.
Задача 1. Две прямые пересекаются. Один из образовавшихся углов равен 68°. Найдите остальные углы. Сначала определим угол, расположенный напротив данного, а затем найдём два соседних угла. Здесь нужны свойства вертикальных и смежных углов.
Ответ: 68°, 112° и 112°. Проверка: сумма всех четырёх углов вокруг точки равна 360°.
Задача 2. Секущая пересекает две прямые, накрест лежащие углы равны 47°. Определите взаимное расположение прямых и найдите угол, смежный с одним из этих углов. Равенство накрест лежащих углов — признак параллельности, поэтому сначала делаем вывод о прямых. Для смежного угла используем сумму 180°.
Ответ: прямые параллельны; смежный угол равен 133°. Указанное равенство относится к накрест лежащей паре, а не к произвольным углам при пересечениях.
Задача 3. Односторонние углы относятся как 2:7. Найдите их величины и выясните, параллельны ли прямые. Одного отношения недостаточно, чтобы определить сами углы: сначала требуется знать, что прямые параллельны, или получить ещё одно условие. Если прямые параллельны, односторонние углы в сумме равны 180°, и тогда можно составить уравнение.
Ответ: если прямые параллельны, углы равны 40° и 140°. В условии только об отношении их величины и параллельность однозначно не определяются.
Ошибка — объявлять прямые параллельными, если на рисунке они не пересекаются. Так можно ошибиться из-за неполного изображения: линии могут пересечься за его пределами, а прямые должны лежать в одной плоскости. Проверяйте, дано ли условие параллельности или есть ли подходящий признак; одного вида чертежа недостаточно.
Накрест лежащие углы путают с соответственными, потому что обе пары связаны с двумя пересечениями секущей. При этом накрест лежащие лежат внутри между прямыми и по разные стороны секущей, а соответственные занимают одинаковое положение у пересечений. Перед сравнением углов отметьте секущую и внутреннюю область, после чего проверьте расположение каждого угла.
Равенство односторонних углов не доказывает параллельность. Ошибка возникает из-за смешения этого условия с признаком для накрест лежащих или соответственных углов. Для односторонних углов проверьте не равенство, а сумму: она должна составлять 180°.
Нельзя считать прямые перпендикулярными лишь потому, что угол на рисунке выглядит прямым. Чертёж может быть выполнен неточно, поэтому внешнего сходства недостаточно. Ищите отметку прямого угла или обоснование того, что его величина равна 90°.
Для этой темы пригодятся знания о видах углов, их градусной мере и свойствах смежных и вертикальных углов. Смежность позволяет находить угол по сумме 180°, а вертикальность — получать равные углы при пересечении прямых. Без этих правил трудно использовать углы, образованные секущей.
Признаки параллельности помогают доказывать равенство углов и фигур, а также разбирать чертежи с несколькими прямыми. Параллельные и перпендикулярные прямые нужны при построениях. Эти знания пригодятся и при изучении треугольников, где углы и параллельные прямые связаны между собой.
Чем параллельные прямые отличаются от пересекающихся?
Пересекающиеся прямые имеют ровно одну общую точку. Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.
Почему вертикальные углы равны?
Каждый из двух вертикальных углов смежен с одним и тем же углом. Смежные углы в сумме дают 180°, поэтому оба вертикальных угла равны одному и тому же числу.
Как быстро определить, какие углы являются накрест лежащими?
Найдите два места, в которых секущая пересекает прямые, и отметьте углы между этими прямыми. Если выбранные углы находятся по разные стороны секущей, они накрест лежащие.
Достаточно ли равенства одной пары углов, чтобы доказать параллельность прямых?
Да, если это накрест лежащие или соответственные углы, образованные одной секущей, то их равенство служит признаком параллельности. Для односторонних углов нужно проверить, что их сумма равна 180°.
Как понять по односторонним углам, что прямые параллельны?
Сложите величины односторонних углов, расположенных внутри двух прямых по одну сторону секущей. Если сумма равна 180°, прямые параллельны.
Раздел 3. Взаимное расположение прямых
