"Геометрия", Козлова С.А., Рубин А.Г., Гусев В.А.
Центральная симметрия — преобразование, при котором точка переходит в другую так, что заданный центр становится серединой соединяющего их отрезка. Она помогает строить образы фигур и сравнивать их свойства: длины отрезков и величины углов сохраняются. Фигура, которая при таком преобразовании совпадает сама с собой, называется центрально-симметричной. Знание этой темы помогает понять, почему параллелограмм обладает центром симметрии.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Центральная симметрия относительно точки O — преобразование, при котором точка A переходит в точку A′ так, что O является серединой отрезка AA′. Иными словами, точки A, O и A′ лежат на одной прямой, а отрезки OA и OA′ равны. Это определение позволяет точно строить образ точки и проверять, правильно ли он построен.
Точки A и A′ называют симметричными относительно точки O, если O — середина отрезка AA′. При этом точка O симметрична сама себе: при преобразовании она остаётся на месте. Такое обозначение помогает описывать, какие именно точки фигуры переходят друг в друга.
Центр симметрии фигуры — точка, относительно которой фигура отображается сама на себя при центральной симметрии. Это значит, что после преобразования все точки фигуры занимают места других её точек. Центр помогает найти пары соответствующих частей и понять, совпадёт ли фигура со своим образом.
Центрально-симметричная фигура — фигура, которая при центральной симметрии относительно некоторой точки совмещается сама с собой. Точку, относительно которой происходит такое совмещение, называют центром фигуры. Это понятие нужно, чтобы отличать фигуры с таким свойством от тех, чей образ не совпадает с исходной фигурой.
Чтобы построить образ точки A относительно центра O, сначала проводят прямую AO: точка и её образ должны лежать на одной прямой с центром. Затем на продолжении за O откладывают отрезок OA′, равный OA. Центр оказывается между точкой и её образом, потому что именно тогда он делит AA′ пополам. Если отложить отрезок в ту же сторону от O, равенство расстояний не сделает O серединой AA′.
Центральную симметрию удобно представлять как поворот на 180° вокруг точки O. При таком повороте луч OA направляется в противоположную сторону, а точка A оказывается на том же расстоянии от O, но за центром. Поэтому описание через поворот приводит к тому же построению: расстояние до центра не меняется, а направление луча разворачивается на пол-оборота.
При центральной симметрии отрезок AB переходит в отрезок A′B′ той же длины, потому что преобразование сохраняет расстояния между точками. Если прямая AB не проходит через O, её образная прямая параллельна AB: обе точки сдвигаются на одинаковое расстояние в противоположном направлении относительно центра. Если же AB проходит через O, точки и их образы остаются на этой же прямой, поэтому она переходит сама в себя.
Углы при центральной симметрии сохраняют величину: их стороны поворачиваются на одинаковые 180°, так что угол между сторонами не меняется. Длины сторон многоугольника тоже сохраняются, поскольку сохраняются расстояния между любыми парой его точек. Значит, у образа совпадают с исходной фигурой соответствующие стороны и углы, а многоугольники равны.
Фигура имеет центр симметрии, если вместе с каждой своей точкой содержит точку, симметричную ей относительно этого центра. Например, диагонали параллелограмма пересекаются и делят друг друга пополам. Поэтому точка пересечения является серединой между каждой парой противоположных вершин, а противоположные стороны переходят друг в друга. Так параллелограмм при центральной симметрии совмещается сам с собой.
В таблице собраны типичные образы объектов и свойства, которые удобно проверять после преобразования. Сначала найди строку с исходным объектом, затем посмотри, каким становится его образ. Для прямой отдельно проверь, проходит ли она через центр: от этого зависит, совпадёт ли образная прямая с исходной.
| Исходный объект | Его образ | Что сохраняется |
|---|---|---|
| Точка | Точка, симметричная относительно центра | Расстояние до центра; центр остаётся на месте |
| Отрезок | Равный отрезок, параллельный исходному или лежащий на той же прямой | Длина и параллельность |
| Прямая | Параллельная прямая или та же прямая | Направление; если прямая проходит через центр, она не меняется |
| Угол | Равный ему угол | Величина угла |
| Многоугольник | Равный исходному многоугольник | Длины сторон и величины углов |
Задача. Постройте точку A′, симметричную точке A относительно точки O. Нужно не просто отметить точку на прямой, а обеспечить, чтобы O была серединой AA′. Поэтому сначала определим прямую, на которой должен лежать образ, а затем отмерим нужное расстояние.
Ответ: точка A′ на продолжении AO за O, для которой OA′ = OA. Проверка проста: O лежит между A и A′, а расстояния от O до них равны. Значит, O — середина отрезка AA′.
Задача. Отрезок AB переходит при центральной симметрии в отрезок A′B′. Как связаны их длины и направления? Сначала рассмотрим, что преобразование делает с расстоянием между концами отрезка, а затем учтём положение прямой AB относительно центра. Это необходимо, потому что прямая через центр ведёт себя особым образом.
Ответ: отрезки равны по длине; их прямые параллельны или совпадают. Слова «параллельны или совпадают» важны: совпадающие прямые нельзя называть строго параллельными. Направление отрезка как луча при повороте на 180° меняется на противоположное.
Задача. Докажите, что точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии. По определению нужно показать, что преобразование относительно этой точки переводит фигуру в неё саму. Для этого проверим сначала вершины, а потом стороны.
Ответ: O — центр симметрии параллелограмма. Вершины попарно переходят в противоположные вершины, а стороны — в противоположные стороны. Следовательно, фигура при центральной симметрии относительно O совмещается сама с собой.
Можно решить, что центр симметрии обязательно принадлежит фигуре. Это кажется естественным, потому что центр неподвижен, но фигура может состоять только из своей границы: например, окружность не содержит своего центра. Проверяй не принадлежность центра фигуре, а то, переходит ли вся фигура в себя при симметрии.
При построении образа точки иногда откладывают равный отрезок на той же стороне от O. Тогда точка O не оказывается между точкой и её образом, а значит, не является серединой отрезка. Проверь положение трёх точек: A и A′ должны быть по разные стороны от центра, а OA и OA′ — равны.
Центр симметрии иногда ошибочно считают точкой, которая тоже перемещается. Но при симметрии относительно O образ центра совпадает с ним самим, поскольку расстояние от O до себя равно нулю. Проверка: если в построении центр сдвинулся, значит, преобразование выполнено относительно другой точки или построение неверно.
Не всякая прямая переходит в строго параллельную ей другую прямую. Если исходная прямая проходит через центр, её точки и их образы остаются на этой прямой, поэтому образом будет она сама. Чтобы не ошибиться, сначала установи, лежит ли центр на прямой, и только потом называй образ прямой.
Для построений нужны знакомые действия: находить середину отрезка, проводить прямую через две точки и сравнивать отрезки. Умение сравнивать углы понадобится, чтобы понимать, какие свойства сохраняет образ фигуры. Эти знания позволяют проверять результат построения не на глаз, а по определению.
Центральная симметрия помогает распознавать свойства параллелограмма: его противоположные вершины и стороны переходят друг в друга относительно точки пересечения диагоналей. Она также знакомит с преобразованиями фигур — правилами, по которым точки перемещаются, а свойства и форма фигуры сохраняются. Позже такие преобразования помогут анализировать более сложные геометрические фигуры.
Как построить точку, симметричную данной относительно центра?
Проведи прямую через данную точку A и центр O. На продолжении прямой за центром отметь A′ так, чтобы OA′ = OA. Тогда O будет серединой AA′.
Может ли центр симметрии не принадлежать фигуре?
Да. Например, центр окружности не лежит на самой окружности, но при повороте на 180° окружность переходит в себя. Центр должен быть точкой, относительно которой фигура совмещается сама с собой, а не обязательно точкой самой фигуры.
Чем центральная симметрия отличается от осевой?
При центральной симметрии точки отражаются относительно точки: она оказывается серединой отрезка между точкой и её образом. При осевой симметрии отражение происходит относительно прямой, которая перпендикулярна отрезку между точкой и её образом и делит его пополам.
Какие свойства фигур сохраняются при центральной симметрии?
Сохраняются длины отрезков и величины углов, поэтому исходная фигура и её образ равны. Также сохраняются параллельность и взаимное расположение соответствующих частей.
Почему точка пересечения диагоналей параллелограмма — центр симметрии?
Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. Поэтому противоположные вершины симметричны относительно этой точки, а стороны переходят в противоположные стороны. Значит, параллелограмм при симметрии относительно точки пересечения диагоналей совмещается сам с собой.
6.3. Центрально-симметричные фигуры и их свойства
