"Геометрия", Козлова С.А., Рубин А.Г., Гусев В.А.
Центральная симметрия перемещает точки плоскости относительно выбранного центра: центр оказывается серединой отрезка между точкой и её образом. Такое преобразование можно представить как поворот на 180°. Оно сохраняет расстояния, поэтому является изометрией — преобразованием, при котором фигура меняет положение, но не размеры. Эти понятия помогают строить симметричные фигуры и сравнивать их свойства.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Центральная симметрия — преобразование плоскости, при котором точка переходит в точку, симметричную ей относительно заданного центра. Например, при центре O точка A переходит в A′. Это определение помогает понять, какое именно перемещение нужно выполнить, чтобы получить образ точки или всей фигуры.
Центр симметрии — точка, являющаяся серединой отрезка, соединяющего любую точку с её образом при центральной симметрии. Если A переходит в A′, то центр O лежит между A и A′, а OA = OA′. Это условие позволяет построить образ и проверить, верно ли он найден.
Симметричные точки — две точки, для которых центр симметрии является серединой отрезка между ними; сам центр при этом переходит в себя. Значит, точки расположены на одной прямой по разные стороны от центра и на равном расстоянии от него. Это понятие нужно, чтобы описывать положение исходной точки и её образа.
Изометрия — преобразование, сохраняющее расстояния между любыми двумя точками. Иначе говоря, если точки A и B переходят в A′ и B′, то AB = A′B′. Понятие изометрии помогает установить, какие свойства фигуры останутся неизменными после преобразования.
Чтобы построить образ A точки A при центре O, сначала проводят прямую AO: на ней должны находиться исходная точка, центр и её образ. Затем за центром откладывают отрезок OA′, равный OA. Образ окажется на противоположной стороне от O, потому что центр должен быть серединой AA′, а не просто точкой на одинаковом расстоянии от концов. Если A совпадает с O, дополнительного отрезка нет: эта точка остаётся на месте.
Центральная симметрия соответствует повороту на 180° вокруг центра. При таком повороте каждый отрезок поворачивается целиком, не растягиваясь и не сжимаясь: его концы перемещаются одинаковым способом. Поэтому расстояние между концами остаётся прежним. Так объясняется, почему центральная симметрия сохраняет длины, а не просто совпадает с этим свойством случайно.
Чтобы получить образ фигуры, преобразуют каждую точку, которая задаёт её границу. Например, у треугольника строят образы всех трёх вершин, а затем соединяют их в соответствующем порядке. Нельзя найти образ треугольника, переместив только одну вершину: остальные точки также должны перейти в свои образы. Так получается вся новая фигура, а не только её часть.
Изометрия сохраняет расстояние между любой парой точек. Поэтому, если A и B переходят в A′ и B′, длина отрезка A′B′ равна AB; тот же вывод можно сделать для любой другой пары точек фигуры. Центральная симметрия обладает этим свойством, значит, она является изометрией. Проверка расстояний между образами — способ обосновать этот вывод.
Если преобразование сохраняет расстояния, сохраняются и длины сторон фигуры. Угол тоже не меняется: его стороны переходят в лучи, расположенные так же относительно друг друга, поэтому сохраняется величина между ними. В результате остаются прежними форма и размеры фигуры. Однако её положение на плоскости может измениться: фигура может переместиться или повернуться.
В таблице собраны свойства центральной симметрии и изометрии в целом. Сравнивай строки: первая колонка задаёт признак, а следующие две показывают, что происходит с ним при преобразовании. Центральная симметрия — частный случай изометрии, поэтому её свойства согласуются с общими свойствами изометрий.
| Что рассматриваем | При центральной симметрии | При любой изометрии |
|---|---|---|
| Образ точки | На той же прямой, по другую сторону от центра, на равном расстоянии | Зависит от вида преобразования |
| Расстояние между точками и их образами | Сохраняется расстояние между любыми двумя точками и их образами | Сохраняется расстояние между любыми двумя точками и их образами |
| Длины отрезков | Сохраняются | Сохраняются |
| Величины углов | Сохраняются | Сохраняются |
| Параллельность прямых | Сохраняется | Сохраняется |
Задача 1. Построить точку A′, симметричную точке A относительно точки O. Нужно расположить A′ так, чтобы O был серединой отрезка AA′. Поэтому сначала определяем прямую, на которой должны находиться эти три точки, а затем откладываем равные отрезки по разные стороны от центра.
Ответ: точка A′ на прямой AO по другую сторону от O, причём OA′ = OA.
Задача 2. Построить образ треугольника ABC при центральной симметрии с центром O. Треугольник определяется тремя вершинами, поэтому нужно построить образ каждой из них. После этого полученные точки соединяют в том же порядке, чтобы сохранить соответствие сторон и вершин.
Ответ: треугольник A′B′C′, вершины которого построены симметрично вершинам ABC относительно O.
Задача 3. При центральной симметрии A переходит в A′, а B — в B′. Известно, что AB = 7 см. Найти A′B′. Здесь не требуется строить точки: преобразование сохраняет расстояние между любой парой точек, значит, длина отрезка между образами равна длине исходного отрезка.
Ответ: A′B′ = 7 см.
Образ откладывают на той же стороне от центра, что и исходную точку. Так бывает, если ориентироваться только на равенство расстояний и забыть, что центр должен находиться между точкой и её образом. Проверь прямую: точки A и A′ должны лежать по разные стороны от O.
Иногда считают, что достаточно равенства OA и OA′, но не проверяют, где находится центр. Равные расстояния возможны и тогда, когда обе точки лежат по одну сторону от O, а это не центральная симметрия. Убедись, что O — середина отрезка AA′: он лежит между концами, а расстояния от него до них равны.
При построении образа фигуры преобразуют только одну вершину. Это не задаёт образ всей фигуры: у каждой её вершины должна быть своя симметричная точка. Проверь, что построены все нужные вершины, а затем соединены в том же порядке, что и исходные.
Изометрию принимают за преобразование, которое оставляет фигуру на месте. Так думают, потому что размеры и форма не меняются, но эти свойства не запрещают перемещать фигуру. Проверь не положение, а длины соответствующих отрезков: при изометрии они остаются равными, даже если фигура оказалась в другом месте.
Для построений нужны знакомые умения: проводить прямую и отрезок заданной длины, находить середину отрезка и откладывать равные отрезки. Понятия длины, угла и параллельных прямых помогают описывать, что происходит с фигурой и её образом. Позже изометрии пригодятся при изучении движений фигур и равенства фигур. Они также помогают строить симметричные изображения и обосновывать, почему их размеры не изменились.
Как найти образ точки при центральной симметрии?
Проведи прямую через точку и центр симметрии. За центром отложи отрезок той же длины, что и от исходной точки до центра: его конец и будет образом.
Может ли точка совпасть со своим образом?
Да, если точка совпадает с центром симметрии. Центр при преобразовании переходит сам в себя.
Почему центральная симметрия сохраняет длины?
Она равносильна повороту на 180° вокруг центра. Поворот перемещает точки, не меняя расстояний между ними.
Чем изометрия отличается от центральной симметрии?
Изометрия — общее название преобразований, сохраняющих расстояния. Центральная симметрия — один конкретный вид такого преобразования.
Какие свойства фигуры сохраняются при изометрии?
Сохраняются расстояния, а значит, длины отрезков и величины углов. Поэтому не меняются форма и размеры фигуры, хотя её положение на плоскости может измениться.
6.2. Центральная симметрия. Изометрия
