"Геометрия", Козлова С.А., Рубин А.Г., Гусев В.А.
Поворот — геометрическое преобразование, при котором точки фигуры перемещаются вокруг неподвижного центра на один и тот же угол. Он помогает описывать движение фигуры без изменения её формы и размера, строить новые положения точек и распознавать равные фигуры. Чтобы выполнить поворот, нужно знать его центр, величину угла и направление. При этом расстояние от каждой точки до центра сохраняется, поэтому отрезки и углы фигуры не меняются.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Геометрическое преобразование — соответствие, при котором каждой точке фигуры ставится в соответствие её образ. Иными словами, исходные точки перемещаются по определённому правилу и образуют новую фигуру. Это понятие нужно, чтобы точно описывать, как меняется положение фигуры.
Поворот — геометрическое преобразование вокруг фиксированной точки на заданный угол. При повороте каждая точка перемещается вокруг одной и той же точки, а фигура получает новое положение. Понятие позволяет задавать такое перемещение одним правилом для всех точек.
Центр поворота — неподвижная точка, относительно которой выполняется поворот. Её обычно обозначают буквой O, и сама она при преобразовании остаётся на месте. Зная центр, можно определить, вокруг какой точки строить образы остальных точек.
Угол поворота — величина и направление, определяющие, на какой угол перемещается каждая точка. Например, поворот на 90° против часовой стрелки задаёт и величину, и направление движения. Без направления одного числа градусов недостаточно, чтобы однозначно выполнить построение.
При геометрическом преобразовании каждой точке исходной фигуры соответствует точка-образ. Если преобразуются вершины многоугольника, их образы соединяют в том же порядке, что и исходные вершины. Так получают образ всей фигуры, а не отдельный набор перемещённых точек. Правило преобразования важно применять одинаково ко всем точкам.
Центр поворота остаётся на месте, потому что именно относительно него определяется движение. Любая другая точка вращается вокруг центра, словно находится на конце закреплённого там отрезка. Поэтому длина этого отрезка не меняется: точка движется по окружности с центром O. Радиус такой окружности равен расстоянию от исходной точки до центра.
Чтобы построить образ точки A, сначала проводят отрезок OA. Затем от луча OA в указанном направлении откладывают заданный угол и получают новый луч. На нём отмечают точку A′ так, чтобы OA′ = OA. Это условие помещает образ на нужную окружность; угол и направление определяют, где именно на ней он окажется.
При повороте расстояния между любыми двумя точками сохраняются: поворот одинаково изменяет их положение, не растягивая и не сжимая фигуру. Поэтому отрезок переходит в равный ему отрезок, а его концы остаются в соответствующем порядке. Угол также сохраняется, поскольку его стороны поворачиваются на одинаковый угол. Значит, повёрнутый многоугольник равен исходному.
Из сохранения расстояний и углов следует, что при повороте не меняются длины, величины углов, форма и размер фигуры. Не меняются и расстояния между её точками, а значит, сохраняются площади многоугольников. При этом положение фигуры может измениться: образ не обязан совпадать с исходной фигурой. Если отдельные точки совпали, это не отменяет общего правила преобразования.
| Объект или свойство | Результат поворота | Что сохраняется |
|---|---|---|
| Центр поворота | Переходит сам в себя | Положение центра |
| Точка фигуры | Переходит в точку на том же расстоянии от центра | Расстояние до центра |
| Отрезок | Переходит в равный ему отрезок | Длина и взаимное расположение концов |
| Угол | Переходит в равный ему угол | Величина угла |
| Многоугольник | Переходит в равный многоугольник | Форма, размер и площади |
В таблице удобно проверять, какие свойства можно использовать при построении или доказательстве. Например, для образа точки достаточно сохранить расстояние до центра, а для доказательства равенства фигур — сопоставить соответствующие длины и углы. Сначала найди нужный объект в первом столбце, затем используй результат и сохранённое свойство.
Задача 1. Построить образ точки A при повороте вокруг точки O на 90° против часовой стрелки. Нужно определить две вещи: расстояние образа от центра и его направление. Первое задаёт окружность, второе — положение точки на ней.
Ответ: A′ — точка на указанной окружности, полученная поворотом луча OA на 90° против часовой стрелки. Проверка: расстояние до O осталось прежним, а направление изменилось на заданный угол.
Задача 2. Построить образ треугольника ABC при повороте вокруг вершины A на 120° и доказать, что полученный треугольник равен исходному. При повороте сама вершина A является центром, поэтому A′ совпадает с A. Достаточно правильно построить образы B и C, а затем сравнить соответствующие стороны.
Ответ: образ — треугольник A′B′C′; он равен ABC. Равенство следует из сохранения двух сторон и угла между ними.
Задача 3. Точка B является образом точки A при повороте вокруг O, причём ∠AOB = 60°. Найти образ точки C и определить угол поворота, если образ C совпал с A. Указанный угол показывает поворот от луча OA к лучу OB. Один и тот же поворот должен действовать и на точку C.
Ответ: угол поворота равен 60° в направлении от OA к OB; C лежит на луче, образующем с OA угол 60° в обратную сторону, и OC = OA. Направление важно: без него нельзя выбрать правильный луч.
Считают центром поворота любую точку фигуры. Так ошибаются, потому что путают выбранную вершину с центром преобразования. Центр задаётся условием и может не принадлежать фигуре. Проверь себя: выпиши указанную неподвижную точку до начала построения.
Откладывают угол от неправильного луча или в другую сторону. Тогда получается образ при другом повороте, даже если величина угла верна. Ошибка часто возникает, когда направление не отмечают заранее. Проверь, что начальный луч идёт от центра к исходной точке, а новый луч соответствует указанному направлению.
Меняют расстояние от точки до центра. Образ оказывается не на окружности нужного радиуса, потому что при построении ориентируются только на угол. Проверь равенство расстояний от центра до исходной точки и её образа. Если они различны, точка построена неверно.
Поворачивают только часть вершин или неверно соединяют образы. В таком случае построенная фигура не является образом исходной целиком. Это часто случается, если считают, что достаточно повернуть одну вершину или соединяют точки не в исходном порядке. Перечисли все вершины, построй образ каждой и соедини их по порядку.
Для построения поворота нужны навыки построения углов и окружностей, измерения расстояний и знания о равных фигурах. Эти умения связывают чертёж с доказательством: циркуль и угольник помогают построить образ, а свойства равенства — обосновать результат. Позже поворот пригодится при изучении симметрии, движений и преобразований фигур. Его используют при построении орнаментов, исследовании правильных многоугольников и решении задач на равенство.
Почему центр поворота не перемещается?
Центр поворота задаётся как неподвижная точка преобразования. Поворачиваются остальные точки относительно него, а сам центр остаётся на месте.
Можно ли выполнить поворот на угол больше 360°?
Да. Полный оборот составляет 360°, поэтому поворот на 400° даст тот же результат, что и поворот на 40° в том же направлении. Число полных оборотов можно отбросить.
Как понять, по часовой или против часовой стрелки выполняется поворот?
Направление должно быть указано в условии или принято по обозначениям задачи. При построении сравнивают начальный луч и луч к образу: от первого ко второму откладывают угол в нужную сторону.
Почему после поворота фигура остаётся равной исходной?
При повороте сохраняются расстояния между точками и величины углов. Поэтому отрезки, углы и многоугольники после поворота имеют те же размеры и форму, что и до него.
Как построить поворот, если центр находится вне фигуры?
Для каждой вершины проведи окружность с центром в точке поворота и радиусом, равным расстоянию до вершины. На ней отметь образ, отложив заданный угол в нужном направлении, затем соедини образы вершин.
6.1. Поворот. Геометрические преобразования
