5.4. Другие признаки равенства треугольников

Определения и обозначения

Второй признак равенства треугольников: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого, то треугольники равны. Например, для стороны AB прилежащими будут углы A и B. Это условие помогает доказать равенство, когда известны одна сторона и углы у её концов.

Третий признак равенства треугольников: если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого, то треугольники равны. Стороны нужно сравнивать попарно, сопоставляя те, которые занимают одинаковое положение. Признак удобен, когда в задаче даны длины всех трёх сторон или их равенство уже доказано.

Прилежащие к стороне углы — два угла треугольника, для которых эта сторона является одной из сторон; они расположены у её концов. Так, к стороне AB прилежат ∠A и ∠B, но не ∠C. Это понятие позволяет точно проверить, выполнено ли условие второго признака, а не просто указать любые два равных угла.

Соответственные элементы — стороны и углы двух треугольников, занимающие одинаковое положение при сопоставлении вершин. Если вершине A соответствует D, B — E, а C — F, то, например, сторона AB соответствует DE, а угол B — углу E. Понимание соответствия нужно, чтобы не сравнить элементы, которые не связаны друг с другом при доказательстве.

Как это устроено

Во втором признаке важны именно углы у концов равной стороны. Равная сторона задаёт один и тот же отрезок в обоих треугольниках, а прилежащие углы показывают, в каких направлениях от его концов идут две другие стороны. Если заменить один из этих углов углом при другой вершине, направления уже не будут заданы так, как требует признак. Поэтому недостаточно найти просто два равных угла: нужно проверить их положение относительно стороны.

Представь, что два треугольника строят на равных отрезках. У первого отрезка из одного конца проводят луч под заданным углом, а из другого — под вторым углом. У второго отрезка делают то же самое с равными углами. Поскольку длины отрезков и направления лучей совпадают, соответствующие стороны и вершины получаются одинаково расположенными. Так объясняется, почему треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Для третьего признака достаточно трёх пар соответствующих сторон: две стороны задают расстояния от концов выбранной стороны до третьей вершины. Если начертить дуги с центрами в этих концах и радиусами, равными двум другим сторонам, третья вершина должна лежать на обеих дугах. Их пересечение определяет её положение по одну или другую сторону от выбранной стороны; эти положения дают равные треугольники, расположенные по разные стороны основания. Поэтому при совпадении всех трёх длин форма треугольника определяется однозначно с точностью до такого отражения.

Чтобы выбрать признак в задаче, сначала выпиши известные равные элементы и определи, какие из них соответствуют друг другу. Затем проверь, составляют ли они условие одного из признаков: для второго нужны сторона и оба прилежащих угла, для третьего — все три стороны. Если даны две стороны и угол, проверь, находится ли угол между этими сторонами: это условие первого признака. Такой порядок помогает не делать вывод по неполному набору данных.

После того как равенство треугольников доказано, можно использовать равенство их остальных соответственных элементов. Например, если доказано, что △ABM = △CBM, то равны не только три стороны, по которым их сравнивали, но и соответствующие углы при вершинах A и C, B и B, M и M. Именно это позволяет получить дополнительные выводы, например доказать, что отрезок делит угол пополам. В записи важно сохранять тот же порядок вершин, по которому установлено соответствие.

Признаки равенства треугольников

Сначала найди в условии задачи равные элементы, а затем проверь, подходят ли они под один из признаков. Слова «соответственно равны» означают, что элементы сопоставлены в правильном порядке. Если условие признака выполнено целиком, можно записать вывод о равенстве треугольников.

Разбор задач

Задача 1. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ равны AB и A₁B₁, ∠A и ∠A₁, ∠B и ∠B₁. Докажем равенство треугольников. Важно проверить не только сами равенства, но и то, что два угла прилегают к указанной стороне в каждом треугольнике.

1. Сторона AB соединяет вершины A и B, поэтому к ней прилегают углы A и B. У стороны A₁B₁ прилежащими являются углы A₁ и B₁.
2. По условию AB = A₁B₁, ∠A = ∠A₁ и ∠B = ∠B₁. Значит, равны сторона и оба прилежащих к ней угла.
3. Применяем второй признак равенства треугольников. При этом вершины A, B, C соответствуют вершинам A₁, B₁, C₁.

Ответ: △ABC = △A₁B₁C₁ по второму признаку.

Задача 2. В треугольниках ABC и DEF равны AB и DE, BC и EF, AC и DF. Докажем их равенство. Здесь не требуется искать равные углы: в условии уже перечислены три пары сторон, и нужно проверить, что соответствие записано последовательно.

1. Сопоставим стороны: AB соответствует DE, BC — EF, AC — DF. Каждой стороне первого треугольника поставлена в соответствие сторона второго.
2. По условию все три пары соответствующих сторон равны. Следовательно, выполнено условие третьего признака равенства треугольников.
3. По третьему признаку треугольники равны. Порядок вершин задаём по сопоставленным сторонам: A соответствует D, B — E, C — F.

Ответ: △ABC = △DEF по третьему признаку.

Задача 3. В треугольнике ABC точка M — середина AC, а AB = BC. Докажем, что BM — биссектриса угла ABC. Биссектриса делит угол на два равных угла, поэтому цель — получить равенство углов ABM и MBC.

1. Так как M — середина AC, отрезки AM и MC равны. По условию также AB = BC.
2. Сторона BM общая для треугольников ABM и CBM, то есть BM = BM. Получили три пары равных сторон: AB = CB, AM = CM, BM = BM.
3. Треугольники ABM и CBM равны по третьему признаку. Поэтому соответствующие углы ABM и MBC равны.
4. Отрезок BM выходит из вершины угла ABC и делит его на равные углы. По определению BM — биссектриса угла ABC.

Ответ: BM — биссектриса угла ABC.

Типичные ошибки

Ошибка — применять второй признак, если равны два угла и сторона, но сторона не прилегает к обоим углам. Так происходит, когда ученик видит нужное количество равных элементов и не проверяет, где они расположены. Перед выводом отметь концы указанной стороны и убедись, что равные углы стоят у этих концов в обоих треугольниках.

Ошибка — сравнивать углы или стороны, не установив соответствие вершин. Одинаковые обозначения или похожее положение на чертеже могут сбить с толку, и равные элементы сопоставляют неверно. Составь пары по данным условия и проверь их порядок, например: A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F.

Ошибка — считать, что двух равных сторон и одного равного угла всегда достаточно для равенства. Это верно для первого признака, только если угол заключён между данными сторонами; при другом положении условие не выполнено. Проверь, что обе стороны угла — именно те две стороны, равенство которых дано.

Ошибка — написать, что треугольники равны по трём сторонам, не перечислив соответствующие пары. Иногда стороны выбирают по длине или по рисунку, а не по условию, и соответствие оказывается неправильным. Запиши все три равенства сторон и только после этого называй третий признак.

Связь с другими темами

Перед изучением темы нужно знать определение равных треугольников, свойства углов и сторон треугольника, а также первый признак равенства. Эти знания помогают читать условие, находить пары элементов и проверять, какой признак применим. Первый признак использует две стороны и угол между ними, а новые признаки дают другие наборы данных для доказательства.

Признаки равенства нужны не только для установления совпадения треугольников. С их помощью доказывают равенство отрезков и углов, строят вспомогательные треугольники в рассуждениях и решают задачи на доказательство. Часто ключевой шаг — заметить два треугольника в условии и найти для них нужные пары равных элементов.

Что запомнить

• По второму признаку равны одна сторона и два прилежащих к ней угла.
• По третьему признаку равны три соответствующие стороны.
• Сначала установи, какие вершины и элементы соответствуют друг другу.
• Равенство треугольников позволяет заключить о равенстве всех соответствующих сторон и углов.
• Перед применением признака проверь, что его условие выполнено полностью.