"Геометрия", Шарыгин И.Ф.
Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек, которые обладают одним заданным свойством, и только из них. Такие фигуры помогают описывать решения геометрических задач и выполнять построения. Например, точки на одинаковом расстоянии от одной точки образуют окружность, а точки, равноудалённые от концов отрезка, лежат на его серединном перпендикуляре. Чтобы доказать, что фигура подходит, нужно проверить оба направления: её точки обладают свойством, и все точки с этим свойством входят в фигуру.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Геометрическое место точек — множество всех точек, обладающих заданным свойством, и только их. Иными словами, фигура должна включать каждую подходящую точку и не включать неподходящие. Это понятие позволяет описать все возможные положения точки одним геометрическим образом. Оно особенно полезно в задачах, где требуется найти множество решений.
Окружность — геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от одной заданной точки. Эту точку называют центром, а общее расстояние от неё до точек окружности — радиусом. Если расстояние от точки до центра равно радиусу, точка принадлежит окружности. Такое определение помогает строить фигуру по центру и радиусу.
Серединный перпендикуляр — прямая, перпендикулярная отрезку и проходящая через его середину; её точки равноудалены от концов отрезка. Серединой называют точку, делящую отрезок на две равные части. Поэтому прямая проходит через место, одинаково удалённое от обоих концов, а прямой угол задаёт симметричное положение её точек. Это свойство помогает находить точки с равными расстояниями до концов отрезка.
Биссектриса угла — луч, делящий угол на два равных угла; точки биссектрисы равноудалены от сторон угла. Равноудалённость здесь понимают как равенство расстояний, измеренных перпендикулярно до сторон. Поэтому биссектриса помогает найти точки внутри угла, которые одинаково удалены от обеих сторон. Обратное свойство тоже верно: точка внутри угла, равноудалённая от сторон, лежит на его биссектрисе.
При поиске геометрического места сначала формулируют общее свойство искомых точек, а затем выясняют, какая фигура состоит из всех точек с этим свойством. Такой порядок нужен, чтобы не подменить условие задачи догадкой по рисунку. Например, если точку можно перемещать, важно определить не один возможный вариант её положения, а все варианты. Найденная фигура должна точно совпадать с этим множеством.
Если расстояние до заданной точки O постоянно и равно r, то каждая подходящая точка находится на окружности с центром O и радиусом r. Причина в определении окружности: все точки этой линии имеют одно и то же расстояние до центра. И наоборот, каждая точка окружности удалена от O ровно на r. Поэтому окружность описывает все и только те положения, которые подходят условию.
Точки, равноудалённые от концов отрезка, лежат на его серединном перпендикуляре. Это следует из того, что перпендикуляр, проходящий через середину отрезка, делит его симметрично: для точек этой прямой расстояния до двух концов равны. Обратное утверждение также важно: если точка равноудалена от концов, она находится на прямой, проходящей через середину отрезка под прямым углом. Значит, серединный перпендикуляр включает все подходящие точки, а не только некоторые из них.
Для точек внутри угла расстояние до стороны измеряют по перпендикуляру, опущенному на неё. Наклонный отрезок от точки к стороне длиннее такого перпендикуляра и потому не показывает расстояние до прямой. Точки, у которых перпендикулярные расстояния до обеих сторон равны, лежат на биссектрисе угла. Это объясняется тем, что биссектриса делит угол на равные части, поэтому точка на ней одинаково удалена от сторон.
Чтобы обосновать, что фигура является геометрическим местом, проверяют два направления. Сначала доказывают, что любая точка выбранной фигуры обладает нужным свойством. Затем показывают, что любая точка с этим свойством обязательно принадлежит фигуре. Если доказать только первое, можно найти фигуру, часть точек которой подходит, но при этом пропустить другие решения. Только обе проверки подтверждают, что найдена именно вся искомая фигура.
| Условие для точки | Геометрическое место | Что задано | Как проверить принадлежность |
|---|---|---|---|
| Точка находится на заданном расстоянии от одной точки | Окружность с центром в заданной точке | Центр и расстояние | Сравнить расстояние до центра с радиусом |
| Точка равноудалена от концов отрезка | Серединный перпендикуляр к отрезку | Концы отрезка | Сравнить расстояния до обоих концов |
| Точка внутри угла равноудалена от его сторон | Биссектриса угла | Стороны угла | Сравнить длины перпендикуляров до сторон |
Сначала найди строку с условием, которое дано в задаче, и посмотри, какая фигура ему соответствует. Столбец «Что задано» подсказывает, от каких элементов строить эту фигуру. Последний столбец помогает проверить, действительно ли конкретная точка ей принадлежит.
Здесь задано одно расстояние от одной точки, поэтому применяем определение окружности. Все искомые точки должны находиться ровно в 3 см от O, а не ближе и не дальше. Чтобы построить их множество, достаточно задать центр и радиус. Затем можно проверить любую точку линии измерением расстояния до O.
Ответ: окружность с центром O и радиусом 3 см.
В условии требуется равенство расстояний до двух точек — концов одного отрезка. Поэтому нужно найти геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка, а не точки самого отрезка. Такое свойство задаёт серединный перпендикуляр к AB. Проверим, что он подходит: его точки равноудалены от A и B, и любая точка, для которой эти расстояния равны, лежит на этой прямой.
Ответ: серединный перпендикуляр к отрезку AB.
Сначала уточним, что расстояние от P до каждой стороны — длина перпендикуляра, опущенного на эту сторону. По условию эти две длины равны. Геометрическое место точек внутри угла, равноудалённых от его сторон, — биссектриса. Поэтому положение P определяется не рисунком, а свойством расстояний.
Ответ: точка P лежит на биссектрисе угла ABC.
Можно назвать геометрическим местом фигуру, точки которой обладают нужным свойством, и остановиться на этом. Но так ещё не доказано, что в фигуре находятся все подходящие точки: часть решений может остаться за её пределами. Проверяй оба направления — свойство для точек фигуры и принадлежность фигуре для всех точек со свойством. Если обратная часть не установлена, ответ может быть неполным.
Окружность иногда путают с кругом, потому что в обычной речи эти слова используют рядом. Однако окружность содержит только точки на заданном расстоянии от центра, а круг включает также точки внутри неё. Проверь себя вопросом: расстояние должно быть ровно заданным или не больше него? В первом случае речь об окружности, а во втором — о круге.
Ошибочно считать, что точка, равноудалённая от концов отрезка, обязательно лежит на самом отрезке. Так думают, потому что середина отрезка сама равноудалена от его концов, но это только одна подходящая точка. Все такие точки образуют прямую — серединный перпендикуляр. Для проверки сравни расстояния до обоих концов у точек этой прямой.
Расстояние от точки до стороны угла иногда измеряют по наклонному отрезку. Наклон может соединять точку со стороной, но не является кратчайшим расстоянием до прямой. По определению расстояние измеряется перпендикуляром, поэтому проверь, что он образует со стороной прямой угол. Сравнивать для биссектрисы нужно именно длины таких перпендикуляров.
Для построения серединного перпендикуляра нужно уметь находить середину отрезка и проводить перпендикуляр к прямой. Сравнение расстояний опирается на умение работать с длинами отрезков. Понятие расстояния от точки до прямой объясняет, как определить удалённость точки от стороны угла. Геометрические места точек пригодятся в задачах на построение: они помогают описать все возможные положения искомой точки и обосновать свойства фигур.
Что называют геометрическим местом точек?
Это множество всех точек, обладающих заданным свойством, и только их. Например, окружность — это множество точек, находящихся на одном расстоянии от её центра.
Почему для описания геометрического места недостаточно указать только общее свойство?
Нужно убедиться, что фигура содержит все точки с этим свойством, а не только некоторые из них. Также следует проверить, что каждая точка фигуры действительно обладает свойством.
Чем окружность отличается от круга?
Окружность состоит из точек, расстояние от которых до центра равно радиусу. Круг включает и эти точки, и все точки внутри окружности.
Почему серединный перпендикуляр состоит из точек, равноудалённых от концов отрезка?
Он проходит через середину отрезка и перпендикулярен ему, поэтому каждая его точка находится на одинаковом расстоянии от концов. И наоборот, точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на его серединном перпендикуляре.
Как измеряют расстояние от точки до стороны угла?
Расстояние измеряют по перпендикуляру, опущенному из точки на прямую, содержащую сторону. Наклонный отрезок не является расстоянием до этой стороны.
4.1. Геометрические места точек
