4.3. Кратчайшие пути на плоскости

Определения и обозначения

Кратчайший путь между двумя точками — путь наименьшей длины, соединяющий эти точки. На плоскости таким путём служит отрезок с концами в данных точках. Любой обход или изгиб добавляет длину, поэтому отрезок нужен, когда требуется найти самое короткое соединение.

Длина ломаной — сумма длин всех её звеньев, то есть отрезков, из которых она состоит. Например, для ломаной ACB длина равна AC + CB. Чтобы найти длину более сложного пути, измеряют или вычисляют каждое звено отдельно, а затем складывают полученные длины.

Симметричные точки относительно прямой лежат по разные стороны от неё на одинаковом расстоянии. Прямая, относительно которой выполняют отражение, называется осью симметрии. Отрезок, соединяющий симметричные точки, перпендикулярен этой прямой, а сама она делит этот отрезок пополам; отражение помогает переносить точки и сравнивать пути, не меняя расстояний.

Как это устроено

Пусть ломаная соединяет точки A и B и проходит через повороты. Для двух соседних звеньев можно рассмотреть треугольник: сумма длин двух его сторон не меньше длины третьей стороны. Заменив пару звеньев отрезком между их крайними точками, мы не увеличим длину пути. Повторяя такую замену, получим отрезок AB, поэтому он не длиннее исходной ломаной; если путь отклоняется от AB, неравенство строгое.

Если маршрут обязан пройти через заданную точку C, он состоит из двух частей: AC и CB. Полная длина такого пути равна AC + CB, а не длине одного из этих отрезков. Чтобы сравнить его с прямым маршрутом, складывают обе части и сопоставляют сумму с AB. По неравенству треугольника AC + CB не меньше AB, поэтому путь через C не может оказаться короче отрезка между A и B.

Чтобы найти кратчайший путь от точки A до прямой l, можно выбрать на прямой любую точку K и сравнить AK с другими отрезками от A к l. Если опустить из A перпендикуляр AH, то в треугольнике AHK угол при H прямой, а AK — гипотенуза. Гипотенуза длиннее каждого катета, следовательно, AH короче AK. Тот же вывод верен для любой наклонной, поэтому расстояние от точки до прямой измеряют именно перпендикуляром.

Более сложная задача возникает, когда нужно из A попасть в B, проходя через прямую l, а A и B лежат по одну сторону от неё. Обозначим через B′ точку, симметричную B относительно l. Для любой точки C на l расстояния CB и CB′ равны: отражение сохраняет длины, а C остаётся на оси. Поэтому AC + CB можно заменить равной суммой AC + CB′, то есть длиной ломаной ACB′.

По неравенству треугольника прямая AB′ не длиннее любой ломаной ACB′. Найдите точку пересечения отрезка AB′ с прямой l и обозначьте её C. Тогда отрезок AB′ распадается на AC и CB′, а CB′ равен CB, поэтому длина нужного маршрута через C равна длине AB′. Любой другой выбор точки на прямой дал бы ломаную не короче AB′, значит найденный путь кратчайший.

Сравнение способов соединить точки

В таблице указано, как построить путь и проверить, почему он кратчайший. Сначала выберите строку, которая соответствует условию задачи, затем определите длину всего маршрута, а не отдельного его участка. Для задач с прямой особенно важно различать перпендикуляр до прямой и путь, который должен пройти через неё.

Разбор задач

Задача 1

Точки A и B соединены ломаной ACB. Нужно сравнить длину ломаной с длиной отрезка AB и выяснить, когда они равны. Важно учитывать оба звена: длина пути ACB равна AC + CB. Для сравнения применим неравенство треугольника к треугольнику ACB.

1. В треугольнике ACB сумма длин двух сторон AC и CB не меньше длины третьей стороны AB.
2. Значит, AC + CB ≥ AB, поэтому ломаная не короче отрезка.
3. Равенство возможно, если точки A, C и B лежат на одной прямой, а C находится между A и B. Тогда звенья ломаной вместе составляют отрезок AB.

Ответ: длина ломаной не меньше AB; длины равны, если C лежит между A и B на прямой AB.

Задача 2

Из точки A к прямой l проведены перпендикуляр AH и наклонная AK, причём H и K лежат на l. Нужно сравнить длины этих отрезков. Обе линии начинаются в A и заканчиваются на прямой, но только AH образует с l прямой угол. Рассмотрим треугольник AHK, чтобы понять, какая сторона длиннее.

1. Так как AH перпендикулярен l, угол AHK равен 90°.
2. В прямоугольном треугольнике AHK сторона AK, лежащая напротив прямого угла, является гипотенузой.
3. Гипотенуза длиннее катета AH, поэтому AH < AK.

Ответ: перпендикуляр AH короче наклонной AK.

Задача 3

Точки A и B лежат по одну сторону от прямой l. Требуется найти точку C на l, для которой AC + CB наименьшая. Если пробовать выбирать C наугад, сравнение множества маршрутов будет неудобным. Отражение точки B позволит заменить два звена пути одним отрезком.

1. Постройте точку B′, симметричную B относительно прямой l. При отражении расстояния сохраняются, поэтому для любой точки C на l верно CB = CB′.
2. Проведите отрезок AB′ и обозначьте через C точку его пересечения с l.
3. Для этой точки сумма AC + CB равна AC + CB′, то есть длине отрезка AB′. Для любой другой точки на l такая сумма соответствует ломаной от A до B′ и не может быть короче AB′.

Ответ: нужная точка C — пересечение l с отрезком AB′, где B′ симметрична B относительно l.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать, что ломаная может быть короче отрезка между её концами. Так кажется, если смотреть на отдельные повороты, но неравенство треугольника запрещает такой результат. Проверьте себя: сложите длины всех звеньев и сравните их с расстоянием между началом и концом.

Вторая ошибка — сравнивать отдельные звенья пути вместо полной длины. Одно звено может быть коротким, но остальные участки увеличат общий маршрут. Запишите сумму всех частей, например AC + CB, и только затем сравнивайте её с другим путём.

Третья ошибка — выбирать для расстояния от точки до прямой наклонную. Она может казаться удобнее или визуально короче, но в прямоугольном треугольнике наклонная является гипотенузой и длиннее перпендикуляра. Проверьте, образует ли выбранный отрезок с прямой угол.

Четвёртая ошибка — отражать точку не относительно той прямой или думать, что при отражении расстояния меняются. Осью должна быть именно прямая, через которую проходит маршрут; точки до и после отражения равноудалены от неё. Проверьте построение: прямая должна быть перпендикулярна отрезку между симметричными точками и делить его пополам.

Связь с другими темами

Для объяснения кратчайших путей нужны неравенство треугольника, свойства перпендикуляра и осевая симметрия. Неравенство сравнивает длину ломаной с прямым отрезком, перпендикуляр помогает измерить расстояние до прямой, а отражение сохраняет длины при построении маршрута через прямую. Эти идеи пригодятся в задачах на построение и при поиске оптимальных маршрутов: например, чтобы выбрать место пересечения дороги или границы участка.

Что запомнить

• Кратчайший путь между двумя точками — отрезок.
• Длина ломаной равна сумме длин её звеньев.
• Ломаная не короче отрезка, соединяющего её концы.
• Перпендикуляр от точки к прямой короче любой наклонной.
• Отражение относительно прямой сохраняет расстояния.
• Для поиска кратчайшего пути через прямую можно отразить одну из конечных точек и провести отрезок.