"Геометрия", Козлова С.А., Рубин А.Г., Гусев В.А.
Перпендикуляр и наклонная помогают описать, как расположены отрезки, соединяющие точку с прямой. Перпендикуляр задаёт кратчайшее расстояние от точки до прямой, а наклонная идёт к ней под непрямым углом. Наклонная вместе с перпендикуляром и своей проекцией образует прямоугольный треугольник. Поэтому их длины можно находить по теореме Пифагора, а сами наклонные — сравнивать по длинам проекций.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Перпендикуляр к прямой — отрезок, проведённый из точки к прямой под прямым углом. Его длина называется расстоянием от точки до прямой. Чтобы найти это расстояние, нужно измерить именно перпендикуляр, а не любой отрезок до прямой.
Основание перпендикуляра — точка, в которой перпендикуляр пересекает прямую. Она отмечает конец перпендикуляра на прямой. Это понятие нужно, чтобы точно указывать, откуда начинается измерение отрезка на прямой.
Наклонная к прямой — отрезок, который соединяет данную точку вне прямой с точкой на прямой и не является перпендикуляром. Иначе говоря, он подходит к прямой не под прямым углом. Наклонные позволяют сравнивать другие расстояния от одной точки до прямой.
Основание наклонной — точка, в которой наклонная пересекает прямую. Отрезок прямой между основаниями перпендикуляра и наклонной называется проекцией наклонной. Проекция нужна для построения прямоугольного треугольника и вычисления длины наклонной.
Пусть из точки вне прямой проведены перпендикуляр и наклонная. Вместе с отрезком прямой между их основаниями они образуют треугольник. У основания перпендикуляра угол прямой, потому что один из его лучей лежит на прямой, а другой перпендикулярен ей. Значит, получился прямоугольный треугольник, в котором точка вне прямой — общая вершина.
Перпендикуляр является кратчайшим отрезком от точки до прямой. В образовавшемся прямоугольном треугольнике он — катет, а наклонная, лежащая напротив прямого угла, — гипотенуза. Гипотенуза длиннее каждого катета, поэтому любая наклонная из этой точки длиннее перпендикуляра. Именно поэтому расстояние до прямой измеряют по перпендикуляру.
Если обозначить наклонную через c, перпендикуляр через a, а проекцию через b, теорема Пифагора даёт равенство c² = a² + b². Оно работает, потому что a и b — катеты, а c — гипотенуза одного прямоугольного треугольника. Если известны любые две длины, по этому равенству можно найти третью. Например, для вычисления проекции используют b² = c² − a².
У двух наклонных, проведённых из одной точки, общий перпендикуляр. Если проекции наклонных равны, то по теореме Пифагора равны и квадраты их длин: в обоих случаях к одному и тому же квадрату перпендикуляра прибавляется одинаковый квадрат проекции. Значит, длины наклонных тоже равны. Обратно, равные наклонные имеют равные проекции, поскольку из равных квадратов наклонных вычитают один и тот же квадрат перпендикуляра.
Если проекции двух наклонных различаются, сравним квадраты длин наклонных. К квадрату одной и той же длины перпендикуляра прибавляются квадраты соответствующих проекций. Большая проекция имеет больший квадрат, поэтому и квадрат соответствующей наклонной больше. Длины положительны, следовательно, большей проекции соответствует большая наклонная.
В таблице собраны признаки, помогающие различать и сравнивать отрезки. Сначала определите, какой отрезок перпендикулярен прямой, а какой является наклонной; затем примените нужное правило. При вычислениях помните: длина проекции — это длина отрезка на прямой.
| Что сравниваем | Перпендикуляр | Наклонная |
|---|---|---|
| Угол с прямой | Прямой угол | Не прямой угол |
| Длина по сравнению с другими отрезками от точки до прямой | Короче любой наклонной | Длиннее перпендикуляра |
| Связь длины с проекцией | Вместе с проекцией образует катет прямоугольного треугольника | Квадрат равен сумме квадратов перпендикуляра и проекции |
| Когда отрезки равны | Равен только такому же перпендикуляру той же длины | Наклонные равны, если равны их проекции |
Задача 1. Из точки к прямой проведены перпендикуляр длиной 6 см и наклонная с проекцией 8 см. Найдём длину наклонной. Перпендикуляр и проекция являются катетами, а наклонная — гипотенузой.
Обозначим длину наклонной через c. По теореме Пифагора c² = 6² + 8².
Вычислим: c² = 36 + 64 = 100. Так как длина положительна, c = √100 = 10 см.
Проверим расположение сторон: 10 см больше каждого катета, значит, результат подходит для гипотенузы.
Ответ: 10 см.
Задача 2. Перпендикуляр равен 5 см, одна наклонная — 13 см, проекция другой наклонной — 12 см. Найдём длину второй наклонной и сравним отрезки. Общий перпендикуляр позволяет использовать одну и ту же высоту в обоих прямоугольных треугольниках.
Для второй наклонной применим теорему Пифагора: c² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169.
Извлечём корень: c = √169 = 13 см. Значит, обе наклонные имеют длину 13 см.
Проверим сравнение по проекциям. У первой наклонной квадрат проекции равен 13² − 5² = 144, поэтому её проекция равна 12 см, как и у второй.
Ответ: вторая наклонная равна 13 см; наклонные равны.
Задача 3. Из точки вне прямой проведены наклонные длиной 10 см и 17 см. Проекция меньшей наклонной равна 6 см. Требуется найти проекцию большей наклонной. Сначала нужно восстановить длину общего перпендикуляра, а затем использовать её для второй наклонной.
Для меньшей наклонной по теореме Пифагора найдём квадрат перпендикуляра: a² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64.
Значит, перпендикуляр равен a = 8 см. Теперь пусть x — проекция наклонной длиной 17 см.
Подставим данные: 17² = 8² + x², поэтому x² = 289 − 64 = 225. Так как проекция положительна, x = 15 см.
Ответ: 15 см.
Называть наклонной перпендикуляр. Так можно ошибиться, если считать наклонной любой отрезок от точки до прямой. Но по определению наклонная не образует с прямой прямой угол. Проверьте угол: если он прямой, перед вами перпендикуляр.
Путать наклонную с её проекцией. Оба отрезка связаны с одной наклонной, поэтому их легко принять за одно и то же. Наклонная идёт от внешней точки к прямой, а её проекция целиком лежит на прямой. Проверьте концы отрезка: у проекции оба конца находятся на прямой.
Складывать длины перпендикуляра и проекции. Такое действие кажется подходящим, потому что нужно найти наклонную по двум известным длинам. Однако эти отрезки — катеты, а наклонная — гипотенуза, поэтому нужно складывать квадраты: c² = a² + b². Проверьте себя по теореме Пифагора и убедитесь, что наклонная длиннее каждого катета.
Считать, что большая проекция соответствует меньшей наклонной. Ошибка возникает, если смотреть только на расположение отрезков и не учитывать общий перпендикуляр. По теореме Пифагора большему квадрату проекции соответствует больший квадрат наклонной. Для проверки сравните проекции или подставьте их в формулу c² = a² + b².
Для работы с перпендикуляром нужны понятия прямого угла и перпендикулярных прямых, а также умение распознавать прямоугольный треугольник. Длины наклонной и проекции находят с помощью теоремы Пифагора, различая катеты и гипотенузу. Сравнение расстояний и проекций пригодится в задачах о расстояниях между геометрическими объектами и при дальнейшем изучении прямоугольных треугольников.
Что называется наклонной к прямой?
Наклонная — отрезок от точки вне прямой до точки на прямой, который не перпендикулярен этой прямой. Её конец на прямой называется основанием наклонной.
Как найти расстояние от точки до прямой?
Нужно провести из точки перпендикуляр к прямой. Расстояние равно длине этого перпендикуляра, а не длине наклонной.
Что такое проекция наклонной?
Это отрезок прямой между основаниями наклонной и перпендикуляра, проведённых из одной точки. Проекция лежит на самой прямой.
Как связаны длины наклонной, её проекции и перпендикуляра?
Эти отрезки образуют прямоугольный треугольник: перпендикуляр и проекция — его катеты, а наклонная — гипотенуза. Поэтому квадрат наклонной равен сумме квадратов катетов.
Как сравнить две наклонные, проведённые из одной точки?
Сравните их проекции: большей проекции соответствует большая наклонная. Если проекции равны, то равны и наклонные.
8.9. Перпендикуляр и наклонная
