11.6. Взаимное расположение двух окружностей

Определения и обозначения

Окружность — множество точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от одной точки, называемой центром. Это расстояние называют радиусом и обозначают, например, R или r. Для двух окружностей важно знать оба радиуса, потому что их размеры влияют на то, могут ли окружности встретиться.

Расстояние между центрами двух окружностей — длина отрезка, соединяющего их центры; обозначим его d. Общими точками окружностей называют точки, которые принадлежат обеим окружностям одновременно. Сравнение d с радиусами позволяет определить число таких точек, даже если точный чертёж выполнить трудно.

Взаимное расположение окружностей — положение одной окружности относительно другой, установленное по наличию и числу общих точек. Если общих точек одна, окружности касаются; если две — пересекаются; если ни одной — не пересекаются. При совпадении центров и радиусов окружности совпадают, поэтому каждая их точка является общей.

Как это устроено

Представим, что радиусы окружностей равны R и r, причём R ≥ r. Самое большое расстояние между точками двух окружностей, лежащими на прямой центров, связано с суммой R + r: если центры удалены сильнее этой суммы, окружности не дотянутся друг до друга. Когда d = R + r, окружности встречаются ровно с внешней стороны, в одной точке. Это внешнее касание.

Если расстояние между центрами меньше суммы радиусов, окружности могут встретиться. Но этого условия недостаточно: меньшая окружность может целиком оказаться внутри большей. Чтобы понять, насколько далеко центры должны быть раздвинуты для пересечения, сравнивают d с разностью радиусов R − r. Если d больше этой разности, окружности пересекаются в двух точках, пока d остаётся меньше суммы радиусов.

Когда d = R − r, меньшая окружность касается большей изнутри: они имеют одну общую точку. Если d < R − r, меньшая окружность целиком находится внутри большей и общих точек нет. Разность показывает минимальное расстояние между центрами, при котором окружности ещё могут соприкоснуться; для радиусов, записанных без указания, какой больше, используют модуль |R − r|.

При d = 0 центры совпадают, и сравнение радиусов сразу даёт ответ. Разные радиусы означают, что окружности вложены одна в другую, а одинаковые — что окружности совпали. Поэтому границы между случаями нельзя заменять строгими неравенствами: равенства d = R + r и d = |R − r| описывают касание, а не пересечение в двух точках.

Сравнение величин и расположение окружностей

В таблице R и r — радиусы, а d — расстояние между центрами. Сначала удобно вычислить сумму радиусов и модуль их разности, затем сопоставить с ними d. Равенства проверяйте отдельно: именно они отвечают за касание, а совпадение окружностей требует одновременно d = 0 и R = r.

Разбор задач

Задача. Радиусы двух окружностей равны 7 см и 3 см. Расстояние между их центрами равно 5 см. Определите взаимное расположение окружностей и число общих точек. Здесь чертёж может быть неточным, поэтому надёжнее сначала сравнить три заданные величины по условиям из таблицы.

1. Обозначим больший радиус R = 7 см, меньший r = 3 см, а расстояние между центрами d = 5 см. Радиусы и расстояние измерены в одинаковых единицах, значит, их можно сравнивать напрямую.
2. Вычислим сумму радиусов: R + r = 7 + 3 = 10 см. Так как 5 < 10, окружности не расположены отдельно и не касаются внешним образом: расстояние между центрами меньше суммы радиусов.
3. Найдём разность радиусов: |R − r| = |7 − 3| = 4 см. Получили 4 < 5 < 10, то есть расстояние между центрами строго больше разности и строго меньше суммы.
4. По условию |R − r| < d < R + r окружности пересекаются в двух точках. Равенств с суммой или разностью нет, поэтому касания не происходит.

Ответ: окружности пересекаются в двух точках. Проверка здравого смысла тоже подходит: меньшая окружность не может целиком оставаться внутри большей, поскольку центры удалены на 5 см, что больше разности радиусов 4 см, но центры ещё достаточно близки, так как 5 см меньше суммы радиусов 10 см.

Типичные ошибки

• Путают сумму и разность радиусов. Сумма R + r задаёт границу внешнего касания, а модуль разности |R − r| — границу внутреннего касания. Ошибка возникает из-за того, что обе величины сравнивают с расстоянием между центрами. Перед выводом проверьте смысл: сумма должна быть не меньше разности.

• Считают касание пересечением в двух точках. При равенстве d = R + r или d = |R − r| окружности имеют ровно одну общую точку. Это часто пропускают, если проверять только строгие неравенства. Для самопроверки отдельно рассмотрите оба равенства.

• Не учитывают совпадение центров. При d = 0 и равных радиусах окружности совпадают, а не просто «не пересекаются». Если радиусы разные, общих точек нет. Проверяйте оба условия вместе: одного совпадения центров недостаточно для совпадения окружностей.

Связь с другими темами

Чтобы применить критерий, иногда сначала нужно найти расстояние между центрами. Если известны координаты центров, используют формулу расстояния между точками; если центры и другие точки образуют прямоугольный треугольник, помогает теорема Пифагора. Связь с неравенством треугольника объясняет, почему две окружности пересекаются в двух точках только тогда, когда расстояние между центрами меньше суммы радиусов и больше их разности. Тема также опирается на понятия радиуса, центра и касательной.

Что запомнить

• Для определения положения окружностей нужны радиусы R и r и расстояние между центрами d.
• d > R + r: общих точек нет; d = R + r: внешнее касание.
• |R − r| < d < R + r: две общие точки; d = |R − r|: внутреннее касание.
• Если d < |R − r|, окружности не пересекаются; при d = 0 отдельно проверьте, равны ли радиусы.