"Геометрия (изд. «Просвещение»)", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Когда хорды пересекаются внутри окружности или из одной внешней точки проведены секущие, длины их частей связаны равенствами произведений. Эти правила помогают находить неизвестные отрезки без измерений. Для двух хорд перемножают части каждой хорды, для секущих — всю секущую и её внешнюю часть. Если одна из прямых заменена касательной, квадрат её отрезка равен произведению отрезков секущей. Главное — правильно определить положение точек и выбрать нужные длины.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Если хорды AB и CD пересекаются в точке P, то P делит каждую из них на две части: PA и PB, а также PC и PD. Эти обозначения нужны, чтобы точно записать, какие длины сравниваются.
Секущая — прямая, пересекающая окружность в двух точках. Если из внешней точки P проведена секущая PAB, то PA — внешняя часть до ближней точки окружности, а AB лежит внутри окружности; PB — вся секущая до дальней точки. Такое различение помогает не подменить одну длину другой.
Пересекающиеся хорды — две хорды, имеющие общую внутреннюю точку. Для хорд AB и CD с точкой пересечения P рассматривают четыре отрезка PA, PB, PC и PD. Они образуют два произведения: частей первой хорды и частей второй.
Касательная — прямая, имеющая с окружностью одну общую точку. Если PT — отрезок касательной из внешней точки P, а PAB — секущая из той же точки, длину PT сопоставляют с двумя частями секущей. Это обозначение позволяет применять правило для касательной и секущей.
Если две хорды пересекаются внутри окружности, выполняется равенство PA · PB = PC · PD. Причина в том, что треугольники, образованные частями хорд и соединяющие их концы, подобны: у них равны вертикальные углы при P, а другие углы опираются на одни и те же дуги. Из подобия получаются пропорции, после перемножения членов которых и выходит равенство произведений. Поэтому длины частей одной хорды связаны с длинами частей другой, даже если сами хорды заметно отличаются.
Для доказательства правила о хордах достаточно соединить концы хорд попарно и рассмотреть треугольники, имеющие вершину P. Вертикальные углы равны, а вписанные углы, опирающиеся на одинаковые дуги, тоже равны. Значит, треугольники подобны, а отношения соответствующих сторон дают PA / PC = PD / PB или эквивалентное отношение. Перемножив крайние и средние члены пропорции, получаем равенство произведений.
Если из внешней точки P провести две секущие, то PA · PB = PC · PD, где PA и PC — внешние части, а PB и PD — расстояния до дальних точек окружности. Такое равенство возникает из подобия треугольников, образованных секущими и хордами внутри окружности. У этих треугольников есть общий угол при P, а углы у окружности связаны с одними и теми же дугами. В результате длина каждой секущей сопоставляется именно с её внешним отрезком.
При записи равенства важно различать ближнюю и дальнюю точки пересечения секущей с окружностью. Если порядок точек на прямой — P, A, B, то PA — внешняя часть, а PB — вся секущая от P до дальней точки. Внутренний отрезок AB не заменяет PB: чтобы найти его, нужно вычесть PA из PB. Такая проверка порядка точек не даёт перепутать множители.
Для касательной и секущей из одной внешней точки действует равенство PT² = PA · PB. Его можно получить как предельный случай правила для двух секущих: когда точки пересечения одной секущей сближаются в точку касания, обе соответствующие длины становятся равны PT. Поэтому вместо произведения двух разных отрезков появляется квадрат касательного. В задачах удобнее сразу применить это равенство, не искать вторую секущую.
| Конфигурация | Равенство произведений | Какие отрезки перемножаются |
|---|---|---|
| Две хорды пересекаются внутри окружности | PA · PB = PC · PD | Два отрезка одной хорды и два отрезка другой хорды |
| Из внешней точки проведены две секущие | PA · PB = PC · PD | Вся секущая и её внешняя часть для каждой секущей |
| Из внешней точки проведены касательная и секущая | PT² = PA · PB | Квадрат касательного отрезка и произведение отрезков секущей |
Сначала найди конфигурацию: пересечение внутри окружности или прямые из внешней точки. Затем подпиши нужные длины и выбери соответствующую строку таблицы. В записи для секущей проверь, что один множитель — вся секущая, а второй — её внешняя часть.
Задача 1. Две хорды AB и CD пересекаются в точке P. Известно: PA = 3 см, PB = 8 см, PC = 4 см. Найдите PD. Точка P находится внутри окружности и делит обе хорды на две части, поэтому применяем теорему о пересекающихся хордах. Неизвестная длина входит в произведение частей хорды CD.
Ответ: PD = 6 см. Проверка показывает, что произведения равны: 3 · 8 = 4 · 6 = 24. Полученная длина положительна и соответствует отрезку хорды.
Задача 2. Из точки P вне окружности проведены две секущие PAB и PCD. Известно: PA = 5 см, PB = 20 см, PC = 4 см. Найдите PD. Порядок точек означает, что PA и PC — внешние части, а PB и PD — целые секущие. Поэтому неизвестное входит в произведение PC · PD.
Ответ: PD = 25 см. Значение больше внешней части PC = 4 см, как и должно быть для всей секущей. Если бы в ответе получилось меньше четырёх, это подсказало бы, что вычисление или выбор отрезков неверны.
Задача 3. Из точки P к окружности проведены касательная PT и секущая PAB. Известно: PT = 12 см, PA = 8 см. Найдите PB и длину внутренней части секущей AB. Сначала требуется найти всю секущую, а затем отделить от неё внешнюю часть. Так проще не смешать длины PB и AB.
Ответ: PB = 18 см, AB = 10 см. Проверяем состав длины: PA + AB = 8 + 10 = 18 см, то есть получаем найденную длину всей секущей. Также 12² = 8 · 18 = 144.
При двух секущих иногда перемножают только внешние отрезки. Так делают, потому что оба отрезка легко заметить снаружи окружности, но теорема требует произведение внешней части на всю секущую. Перед вычислением подпиши для каждой секущей ближнюю и дальнюю точки, а затем проверь, что один множитель доходит до дальней точки.
Другая ошибка — принять внутреннюю часть за длину всей секущей. Если точки расположены в порядке P, A, B, то PB включает PA и AB, а не совпадает с AB. Проверь длины по сложению: PB = PA + AB; вся секущая не может быть короче любого из её частей.
Для пересекающихся хорд ошибочно перемножают длины целых хорд вместо их частей. Причина — название теоремы может навести на мысль, что в формуле участвуют хорды целиком, хотя точка P делит каждую на два отрезка. Обозначь все четыре части и проверь, что в каждом произведении стоят два отрезка одной хорды.
В задаче с касательной можно забыть квадрат или применить формулу для двух хорд. Это происходит, если не различить точку внутри окружности и точку снаружи. Сверься с рисунком или условием: касательная и секущая выходят из внешней точки, поэтому используй PT² = PA · PB и проверь, что слева стоит квадрат.
Для этой темы понадобятся определения окружности, хорды, секущей и касательной, а также умение находить длину части отрезка. Доказательство равенства для хорд опирается на подобие треугольников и пропорции, поэтому полезно распознавать равные углы. Правила применяют в задачах на окружность и касательные; они также связаны с понятием степени точки относительно окружности и помогают при геометрических построениях.
Почему для секущей нужно брать всю секущую, а не только её внутреннюю часть?
Теорема связывает внешнюю часть секущей с расстоянием от внешней точки до дальней точки окружности, то есть со всей секущей. Внутренняя часть сама по себе в это произведение не входит. Если известны внешняя и внутренняя части, сначала сложи их, чтобы получить всю секущую.
Как понять, какие именно отрезки нужно перемножать?
Сначала отметь точку пересечения хорд или внешнюю точку, из которой выходят секущие. Для хорд перемножай две части одной хорды и две части другой; для секущей — её полную длину и внешнюю часть. При касательной возводи её длину в квадрат.
Можно ли применять теорему о хордах, если точка пересечения находится вне окружности?
Нет, теорема о произведении частей хорд относится к хордам, которые пересекаются внутри окружности. Если точка находится снаружи, рассматривают две секущие или секущую и касательную. Для них используются другие равенства.
Почему в случае касательной появляется квадрат?
Для касательной и секущей из одной внешней точки выполняется равенство PT² = PA · PB. Произведение двух частей секущей в этом случае равно произведению длины касательной на саму себя, поэтому появляется квадрат.
Как найти внутреннюю часть секущей, если известны внешняя часть и вся секущая?
Вычти длину внешней части из длины всей секущей. Например, если вся секущая равна 18 см, а внешняя часть — 7 см, то внутренняя часть равна 18 − 7 = 11 см.
11.5. Произведения отрезков хорд и секущих
