11.4. Измерение вписанных углов

Определения и обозначения

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность ещё в двух точках. Эти точки задают хорды, то есть отрезки, соединяющие точки окружности. По положению вершины легко отличить вписанный угол от центрального: у центрального вершина находится в центре окружности. Это определение помогает понять, к каким углам применима теорема о вписанном угле.

Дуга, на которую опирается вписанный угол, — часть окружности между точками пересечения его сторон с окружностью, не содержащая вершину угла. Между двумя точками окружности обычно можно выделить большую и меньшую дуги, поэтому важно проверить, какая из них не включает вершину. Именно выбранная дуга участвует в вычислениях по теореме. Так можно не перепутать искомую дугу с той частью окружности, которая лежит внутри угла.

Градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего центрального угла, стороны которого проходят через концы дуги. Для дуги меньше полуокружности речь обычно идёт о меньшей дуге; если дуга больше полуокружности, нужно явно указать, что рассматривается большая дуга. Уточнение нужно потому, что две дуги с одинаковыми концами могут иметь разные меры. Их градусные меры в сумме составляют 360°.

Теорема о вписанном угле утверждает: вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Если дуга имеет меру α, то угол равен α / 2; если известен угол β, меру дуги находят как 2β. Это правило связывает величины, которые часто требуется вычислить в задачах. Перед применением теоремы нужно правильно определить дугу, не содержащую вершину.

Как это устроено

Связь с центральным углом объясняет, почему измерять вписанный угол удобно через дугу. Центральный и вписанный углы могут иметь общие концы на окружности и опираться на одну дугу. Величина центрального угла равна мере этой дуги, поэтому он служит способом измерить её. Вписанный угол при тех же концах оказывается вдвое меньше центрального.

Отсюда получается главный результат: вписанный угол равен половине меры дуги, на которую он опирается. Например, если дуга равна 100°, угол равен 50°. Причина не в том, что у угла «меньше частей», а в устойчивом геометрическом соотношении между центральным углом и вписанным. Обратное вычисление тоже просто: чтобы найти дугу по вписанному углу, его величину удваивают.

Доказательство теоремы разбирают в нескольких случаях, потому что центр окружности может располагаться по-разному относительно угла. Он может лежать на одной из сторон, внутри угла или вне него. Из-за такого положения по-разному проводят вспомогательные радиусы и получают нужные равенства. Во всех случаях итог один: мера вписанного угла составляет половину меры дуги, не содержащей его вершину.

Если два вписанных угла опираются на одну и ту же дугу, каждый из них равен половине её меры. Значит, оба угла равны между собой. Это следствие позволяет находить угол, даже когда его величина непосредственно не дана, но известен другой угол на той же дуге. Нужно проверить именно совпадение дуг, а не только наличие общей хорды.

Полуокружность имеет градусную меру 180°, поэтому вписанный угол, опирающийся на неё, равен 180° / 2 = 90°. Такая дуга ограничена концами диаметра. Следовательно, если сторонами вписанного угла служат хорды, соединяющие вершину с концами диаметра, угол прямой. Этот частный случай часто используют в задачах о треугольнике, вписанном в окружность.

Связь вписанного угла с дугой

Сначала определи, какая дуга связана с углом, и только потом выбери строку таблицы. Если дана дуга, дели её меру пополам; если дан угол, умножай его на 2. В задаче на сравнение проверь, что углы опираются именно на одну и ту же дугу.

Разбор задач

Задача 1. Вписанный угол опирается на дугу величиной 84°. Найдите угол. Здесь дуга уже определена, поэтому нужно применить прямую формулировку теоремы: угол составляет половину её меры. Не нужно удваивать 84°, поскольку неизвестен угол, а не дуга.

1. Запишем меру дуги: 84°.
2. По теореме о вписанном угле разделим меру дуги на 2: 84° / 2 = 42°.
3. Проверим, что результат меньше меры дуги, как и должно быть для вписанного угла.

Ответ: 42°.

Задача 2. Вписанный угол равен 37°. Найдите градусную меру дуги, на которую он опирается. Теперь известен угол, а требуется дуга, поэтому применяем обратную зависимость. Полезно сначала назвать неизвестную величину, чтобы не перепутать деление и умножение.

1. Обозначим меру дуги через α.
2. По теореме 37° = α / 2, следовательно, α = 37° · 2.
3. Вычислим: α = 74°. При проверке половина от 74° действительно равна 37°.

Ответ: 74°.

Задача 3. Точки A, B, C, D лежат на окружности. Углы ACB и ADB опираются на одну и ту же дугу AB. Найдите угол ADB, если угол ACB равен 46°. Не требуется вычислять дугу: у обоих углов одна и та же опора, а значит, можно применить следствие теоремы. Сначала важно проверить данное в условии совпадение дуги.

1. Установим, что оба угла опираются на дугу AB.
2. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны: ∠ACB = ∠ADB.
3. Подставим известное значение: ∠ADB = 46°.

Ответ: 46°.

Типичные ошибки

Первая ошибка — удвоить меру дуги, хотя нужно найти вписанный угол. Так путают прямую и обратную зависимость. Вспомни: угол вдвое меньше дуги, а дуга вдвое больше угла. Проверь действие подстановкой: половина найденного угла должна совпасть с заданной дугой.

Вторая ошибка — выбрать дугу, содержащую вершину угла. Это случается, когда ориентируются только на концы сторон и не проверяют положение вершины. По определению угол опирается на дугу между точками пересечения сторон с окружностью, не содержащую вершину. Перед вычислением отметь вершину и выбери противоположную ей дугу.

Третья ошибка — считать равными любые вписанные углы, имеющие общую хорду. Общая хорда не всегда означает, что углы опираются на одну и ту же дугу: вершины могут находиться по разные стороны хорды. Равенство применимо именно к углам на одной дуге. Для проверки назови дугу, на которую опирается каждый угол, и сравни их.

Четвёртая ошибка — путать вписанный угол с центральным. Центральный угол равен мере соответствующей дуги, а вписанный составляет только половину этой меры. Их могут изображать рядом, поэтому легко принять один за другой. Проверь, где находится вершина: в центре окружности или на ней.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать, что такое окружность, центральный угол и дуга, а также уметь находить их градусные меры. Градусная мера дуги связывает теорему с измерением центрального угла: сначала дугу можно понять через центральный угол, а затем сравнить с вписанным. Поэтому полезно уверенно различать вершины этих двух видов углов.

Теорема пригодится в задачах на окружность и при вычислении углов треугольника, вписанного в окружность. Частный случай с диаметром сразу даёт прямой угол, а равенство углов на одной дуге помогает доказывать геометрические соотношения. Эти приёмы позволяют находить неизвестные величины без измерения по чертежу.

Что запомнить

• Вершина вписанного угла лежит на окружности.
• Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
• Дуга, соответствующая вписанному углу, не содержит его вершину.
• Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
• Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, равен 90°.
• Градусная мера дуги вдвое больше опирающегося на неё вписанного угла.