§ 45. Взаимное расположение двух окружностей

Определения и обозначения

Взаимное расположение двух окружностей — возможные случаи размещения окружностей на плоскости, которые различают по числу общих точек. Такой подход позволяет описать их положение не на глаз, а по точному условию. Окружности могут не иметь общих точек, иметь одну или две.

Пересекающиеся окружности — окружности, имеющие две общие точки. Каждая такая точка принадлежит обеим окружностям, а соединяющая её с центром каждой окружности линия является радиусом. Это определение помогает отличить пересечение от касания, при котором общая точка только одна.

Касающиеся окружности — окружности с одной общей точкой. При внешнем касании они расположены снаружи друг друга, а при внутреннем меньшая находится внутри большей и касается её изнутри. Различать эти случаи нужно, чтобы правильно установить связь между расстоянием центров и радиусами.

Концентрические окружности — окружности с общим центром. Если радиусы у них разные, одна окружность расположена внутри другой и общих точек нет. Если радиусы равны, обе окружности совпадают целиком, поэтому имеют бесконечно много общих точек.

Как это устроено

Для описания положения окружностей вводят расстояние d между их центрами и обозначают радиусы через R и r, где R ≥ r. Центры и радиусы задают, насколько далеко друг от друга находятся окружности и как далеко каждая из них простирается от своего центра. Поэтому достаточно сравнить d с суммой и разностью радиусов. Сумма показывает, могут ли окружности дотянуться друг до друга с внешних сторон, а разность помогает проверить, помещается ли меньшая внутри большей.

Когда d > R + r, даже самый удалённый от центра первой окружности край не достигает второй: расстояния между центрами больше, чем суммарная длина радиусов. Поэтому общих точек нет. Если расстояние становится ровно равным сумме, окружности соприкасаются снаружи в одной точке. Это внешнее касание, для которого d = R + r.

При R − r < d < R + r окружности пересекаются в двух точках. Верхняя граница означает, что центры уже не так далеко, чтобы окружности оставались раздельными снаружи. Нижняя граница показывает, что меньшая окружность ещё не помещается целиком внутри большей без встречи с её линией. Между этими границами окружности проходят одна через другую, образуя две общие точки.

Если меньшая окружность находится внутри большей, сравнивают d с разностью радиусов R − r. При d < R − r расстояние между центрами настолько мало, что меньшая окружность не достигает линии большей, поэтому общих точек нет. При d = R − r окружности соприкасаются изнутри ровно в одной точке. Это внутреннее касание; при меньшем расстоянии центров между окружностями остаётся промежуток.

При d = 0 центры совпадают, потому что расстояние между ними равно нулю. Такие окружности называют концентрическими: при разных радиусах меньшая находится внутри большей, а общих точек нет. Если радиусы ещё и равны, окружности занимают одно и то же положение и совпадают целиком. Этот случай нельзя описывать как обычное пересечение в двух точках.

Взаимное расположение окружностей по расстоянию между центрами

Чтобы воспользоваться таблицей, сначала обозначьте больший радиус через R, а меньший — через r, затем найдите d. Проверьте, какое из условий подходит: равенства соответствуют касанию, а двойное неравенство — пересечению. При d = 0 дополнительно сравните радиусы.

Разбор задач

Задача 1

Радиусы окружностей равны 3 см и 5 см, расстояние между центрами — 9 см. Определите их взаимное расположение. Здесь нужно выяснить, хватает ли расстояния между центрами для того, чтобы окружности соприкоснулись. Для этого сначала проверим сумму радиусов.

1. Больший радиус R = 5 см, меньший r = 3 см, а d = 9 см.
2. Складываем радиусы: R + r = 5 + 3 = 8 см.
3. Сравниваем: 9 см > 8 см, значит, d > R + r. Окружности находятся дальше друг от друга, чем позволяет им соприкоснуться.

Ответ: окружности не имеют общих точек и расположены отдельно.

Задача 2

Радиусы окружностей равны 4 см и 10 см, расстояние между центрами — 6 см. Определите число общих точек. Поскольку один радиус значительно меньше другого, окружности могут соприкоснуться изнутри. Поэтому сравним расстояние не с суммой, а с разностью радиусов.

1. Больший радиус R = 10 см, меньший r = 4 см, d = 6 см.
2. Находим разность: R − r = 10 − 4 = 6 см.
3. Получили d = R − r. Это условие внутреннего касания, при котором есть ровно одна общая точка.

Ответ: одна общая точка; окружности касаются внутренним образом.

Задача 3

Расстояние между центрами двух окружностей равно 7 см, радиус одной окружности — 3 см. Найдите все значения радиуса второй окружности, при которых окружности пересекаются в двух точках. Пересечение возможно, если расстояние между центрами строго больше разности радиусов и строго меньше их суммы. Обозначим неизвестный радиус через x и отдельно учтём, какой радиус больше.

1. Если x ≥ 3, то R = x, r = 3. Условие пересечения: x − 3 < 7 < x + 3. Из первой части получаем x < 10, из второй — x > 4. Вместе: 4 < x < 10.
2. Если x < 3, то R = 3, r = x. Тогда нужно, чтобы 3 − x < 7 < 3 + x. Первое неравенство верно при любом положительном x < 3, а второе даёт x > 4, что невозможно при x < 3.
3. Следовательно, подходят только значения из первого случая. Границы не входят: при x = 4 или x = 10 было бы касание, а не пересечение в двух точках.

Ответ: 4 см < x < 10 см.

Типичные ошибки

Сравнивают d только с суммой радиусов и забывают о разности. Так бывает, если рассматривают лишь окружности, расположенные рядом, и не проверяют, может ли одна оказаться внутри другой. Для проверки вычислите и R + r, и R − r: именно сравнение с разностью выявляет внутреннее касание и отсутствие общих точек внутри.

Путают внешнее и внутреннее касание. Оба случая дают одну общую точку, поэтому легко запомнить только число, не проверив расположение окружностей. Проверьте равенство: внешнее касание означает d = R + r, внутреннее — d = R − r.

Считают, что при любом d < R + r окружности пересекаются. Это неверно: если d < R − r, меньшая окружность целиком лежит внутри большей и не достигает её линии. Чтобы проверить себя, убедитесь, что для двух общих точек расстояние не только меньше суммы, но и больше разности радиусов.

Не учитывают случай совпадающих центров. При d = 0 окружности концентрические, и результат зависит от радиусов: равные окружности совпадают, разные не имеют общих точек. Проверьте оба условия — расстояние между центрами и равенство радиусов — прежде чем записывать число общих точек.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать, что такое окружность, её центр и радиус, а также уметь находить расстояние между точками. Эти понятия позволяют обозначить величины d, R и r и сравнить их. Навык пригодится в задачах на касательные и общие точки окружностей: по условиям можно определить, возможна ли касательная или пересечение. Те же сравнения используют при построении геометрических фигур, когда положение окружностей задаёт вершины или точки пересечения.

Что запомнить

• Расположение окружностей определяется расстоянием между центрами и радиусами.
• При d > R + r окружности не имеют общих точек.
• При d = R + r окружности касаются внешним образом.
• При R − r < d < R + r окружности пересекаются в двух точках.
• При d = R − r окружности касаются внутренним образом.
• При 0 < d < R − r окружности не имеют общих точек.
• При совпадении центров окружности концентрические; если равны и радиусы, окружности совпадают.