§ 46. Вписанный угол

Определения и обозначения

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают её. На чертеже найди точку-вершину на линии окружности и проверь, что обе стороны выходят из неё и пересекают окружность ещё раз. Это позволяет отличить вписанный угол от угла, вершина которого просто нарисована внутри круга.

Дуга, на которую опирается вписанный угол, — дуга окружности между точками пересечения его сторон с окружностью, не содержащая вершину угла. Эти точки задают концы дуги, а положение вершины помогает выбрать нужную из двух дуг. Именно для выбранной дуги применяют теорему о вписанном угле.

Градусная мера дуги — число градусов, равное градусной мере соответствующего центрального угла, то есть угла с вершиной в центре окружности и сторонами-радиусами к концам дуги. Чтобы найти меру дуги, можно измерить этот центральный угол. Полная окружность соответствует 360°, а полуокружность — 180°.

Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, — вписанные углы, стороны которых проходят через одни и те же концы этой дуги. Совпадают не просто концы хорд: нужно, чтобы оба угла опирались на общую дугу, не содержащую их вершин. Такое определение нужно, чтобы правильно сравнивать углы.

Как это устроено

Стороны вписанного угла пересекают окружность в двух точках, и именно эти точки становятся концами дуги. Пока концы не определены, нельзя понять, какую дугу брать и к какой мере применять теорему. Между двумя точками окружности есть две дуги, поэтому учитывают положение вершины: нужна дуга, которая её не содержит. Так связь угла с окружностью превращается в связь угла с конкретной дугой.

Теорема о вписанном угле утверждает: величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Например, дуге 100° соответствует вписанный угол 50°, а дуге 70° — угол 35°. Деление на два объясняется тем, что центральный угол, опирающийся на ту же дугу, вдвое больше вписанного. Поэтому сначала находят меру нужной дуги или соответствующего центрального угла.

Проследить причину теоремы можно с помощью радиусов. Обозначим вершину вписанного угла C, концы выбранной дуги A и B, а центр окружности O; проведём OA, OB и OC. В треугольниках AOC и BOC радиусы равны, поэтому каждый из них равнобедренный, а углы при основании равны. Если луч OC проходит внутри угла ACB, то центральный угол AOB складывается из углов этих треугольников, а внешний угол при вершине C каждого треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним. Подстановка равных углов при основаниях показывает, что ∠AOB вдвое больше ∠ACB; если OC находится вне угла, аналогичное вычитание даёт то же соотношение.

Если два вписанных угла опираются на одну дугу, то мера этой дуги для них одинакова. По теореме каждый угол равен половине одного и того же числа градусов, значит, углы равны. Это верно именно для общей дуги, а не автоматически для любых углов с общей хордой: вершины могут оказаться по разные стороны хорды, и тогда углы будут опираться на разные дуги.

Когда концы дуги — концы диаметра, дуга является полуокружностью, а её градусная мера равна 180°. Вписанный угол равен половине этой меры: 180° : 2 = 90°. Поэтому любой вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой; положение его вершины на другой части окружности на результат не влияет.

Вписанный угол и дуга, на которую он опирается

Чтобы пользоваться таблицей, сначала определи меру именно той дуги, которая не содержит вершину угла. Затем раздели её меру на два или сравни с 180°, если известна только величина дуги относительно полуокружности. Для двух углов проверь, что общая у них не только хорда, но и дуга.

Разбор задач

Задача 1. Вписанный угол опирается на дугу градусной меры 84°. Найдите угол. Здесь даны мера дуги и угол, который на неё опирается, поэтому достаточно применить теорему, не вводя дополнительных построений. Важно не принять 84° за величину самого угла: это мера дуги.

1. По теореме вписанный угол равен половине меры дуги.
2. Вычислим: 84° : 2 = 42°.
3. Проверим: угол меньше 90°, что соответствует дуге меньше 180°.

Ответ: 42°.

Задача 2. AB — диаметр окружности, C — точка на окружности. Найдите величину угла ACB. Сначала нужно понять, на какую дугу опирается этот угол: его стороны проходят через A и B, а вершина находится в C. Поскольку AB — диаметр, дуга AB, не содержащая C, является полуокружностью.

1. Градусная мера полуокружности равна 180°.
2. Угол ACB равен половине меры дуги AB.
3. Вычислим: 180° : 2 = 90°.

Ответ: ∠ACB = 90°.

Задача 3. Вписанные углы ABC и ADC опираются на одну и ту же дугу AC. Угол ABC равен 37°. Найдите угол ADC и объясните ответ. Не требуется знать меру дуги AC: оба угла опираются на неё, значит, их величины одинаковы. Это применение следствия из теоремы о вписанном угле.

1. Обозначим меру общей дуги AC через x.
2. Тогда каждый из углов равен x : 2, поэтому ∠ABC = ∠ADC.
3. Так как ∠ABC = 37°, то и ∠ADC = 37°.

Ответ: 37°. Углы равны, потому что опираются на одну дугу AC.

Типичные ошибки

Ошибка: считать вписанным любой угол внутри окружности. Так бывает, когда внимание обращают только на то, где нарисован угол. Но у вписанного угла вершина обязана лежать на окружности, а стороны должны пересекать её. Проверь положение вершины и обе стороны: если вершина внутри круга, определение не выполнено.

Ошибка: выбирать дугу, которая содержит вершину угла. Между концами сторон есть две дуги, и из-за этого легко указать не ту. Для вписанного угла берут дугу без его вершины. Отметь вершину на чертеже и выбери другую часть окружности между концами сторон.

Ошибка: приравнивать меру угла к мере дуги. Это происходит, если забыть формулировку теоремы или смешать два измеряемых объекта. Угол составляет половину меры дуги, а не всю меру: например, дуге 84° соответствует угол 42°. Для проверки умножь найденный угол на два и сравни результат с мерой дуги.

Ошибка: объявлять равными углы с общей хордой, не проверив дуги. Общие концы сторон ещё не гарантируют, что углы опираются на одну и ту же дугу: вершины могут располагаться по разные стороны хорды. Сначала укажи дугу без вершины для каждого угла, затем сравни её концы и расположение. Равенство можно применять только при общей дуге.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны понятия окружности, центрального угла и градусной меры дуги. Центральный угол помогает измерить дугу, а теорема связывает её меру с вписанным углом. Эти знания пригодятся в задачах на углы в окружности и при доказательстве свойств вписанных четырёхугольников. В частности, связь угла с дугой помогает находить углы четырёхугольника, вершины которого лежат на одной окружности.

Что запомнить

• Вершина вписанного угла лежит на окружности.
• Стороны вписанного угла пересекают окружность.
• Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
• Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
• Угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.