§ 47. Свойство катета, лежащего против угла в 30°

Определения и обозначения

Прямоугольный треугольник — треугольник, у которого один угол прямой, то есть равен 90°. Два оставшихся угла острые, потому что вместе они должны составить оставшиеся 90°. Это определение нужно, чтобы понять, к каким треугольникам относится рассматриваемое свойство.

Катет — сторона прямоугольного треугольника, которая образует прямой угол с другой стороной. Катетов два, и каждый из них прилегает к углу 90°. Когда ищут катет напротив угла 30°, важно определить, какой именно из двух катетов находится напротив этого угла.

Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла. Она не образует прямой угол и всегда длиннее каждого катета. Это нужно помнить, чтобы не перепутать стороны в соотношении: половиной оказывается гипотенуза, а не катет.

Свойство катета, лежащего против угла в 30°: такой катет равен половине гипотенузы. Обозначим этот катет буквой a, а гипотенузу буквой c; тогда a = c/2. Это обозначение помогает записывать условие задачи коротко и находить неизвестную сторону.

Как это устроено

Если один острый угол прямоугольного треугольника равен 30°, второй острый угол равен 60°. Причина в том, что сумма углов любого треугольника составляет 180°, а прямой угол уже занимает 90°. На два острых угла остаётся 90°, поэтому после вычитания 30° для второго остаётся 60°.

Чтобы понять, откуда берётся соотношение сторон, можно выполнить вспомогательное построение: достроить прямоугольный треугольник до равностороннего. В таком построении гипотенуза оказывается стороной равностороннего треугольника, а катет напротив угла 30° — половиной этой стороны. Ведь в равностороннем треугольнике все стороны равны, а проведённая высота делит его на два равных прямоугольных треугольника. Так получается, что катет равен половине гипотенузы.

Обозначим катет напротив угла 30° через a, а гипотенузу через c. Тогда свойство записывается формулой a = c/2. Например, если гипотенуза равна 18 см, соответствующий катет равен 9 см. Буквы не меняют смысл соотношения: важно, что a обозначает именно катет напротив 30°, а c — гипотенузу.

Из равенства a = c/2 можно получить способ найти гипотенузу: обе части равенства нужно умножить на 2. В результате получится c = 2a, то есть гипотенуза вдвое больше катета напротив угла 30°. Например, при a = 7 см гипотенуза равна 14 см. Это не отдельное новое свойство, а та же формула, преобразованная для другой неизвестной стороны.

Перед вычислением нужно проверить условие применения свойства: треугольник должен быть прямоугольным, а рассматриваемый катет должен находиться напротив угла 30°. Сторона напротив угла — это сторона, которая не касается вершины этого угла. Если перепутать её с катетом, образующим угол 30°, формула даст неверный результат. Поэтому сначала определяют стороны по их расположению, а уже потом подставляют числа.

Соотношение катета и гипотенузы в прямоугольном треугольнике

Сначала найдите в таблице то, что дано в задаче: катет или гипотенузу. Затем примените равенство a = c/2 и вычислите неизвестную сторону. Убедитесь, что величина a относится именно к катету напротив угла 30°.

Разбор задач

Задача 1. В прямоугольном треугольнике угол равен 30°, а гипотенуза — 14 см. Найдите катет, лежащий против угла 30°. Нужно выбрать сторону напротив угла 30°, а не катет, который образует этот угол. После этого можно взять половину гипотенузы.

1. Угол 30° острый, поэтому лежащая напротив него сторона — катет. Гипотенуза дана: c = 14 см.
2. Применяем свойство: a = c/2. Подставляем число: a = 14/2 = 7 см.
3. Проверяем: найденный катет вдвое меньше гипотенузы, поскольку 7 · 2 = 14.

Ответ: катет, лежащий против угла 30°, равен 7 см.

Задача 2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 30°, равен 6 см. Найдите гипотенузу. Здесь дана не гипотенуза, а половина её длины. Поэтому нельзя делить катет пополам: нужно определить, во сколько раз гипотенуза больше него.

1. Обозначим данный катет через a: a = 6 см. По свойству a = c/2, значит, c = 2a.
2. Подставляем известную длину: c = 2 · 6 = 12 см.
3. Проверяем соотношение: половина от 12 см равна 6 см, как и требовалось.

Ответ: гипотенуза равна 12 см.

Задача 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 20 см, один катет — 10 см. Может ли этот катет лежать против угла 30°? Сравним его с половиной гипотенузы: если это катет напротив 30°, длина должна быть ровно вдвое меньше гипотенузы. Для обоснования в обратную сторону используем обратное утверждение: если катет равен половине гипотенузы, он лежит напротив угла 30°.

1. Находим половину гипотенузы: 20/2 = 10 см.
2. Данный катет тоже равен 10 см, значит, он равен половине гипотенузы.
3. По обратному утверждению этот катет лежит напротив угла 30°. Следовательно, такое возможно и угол напротив него равен 30°.

Ответ: да, может; этот катет лежит напротив угла 30°.

Типичные ошибки

Путают катет с гипотенузой и считают, что любой катет равен половине гипотенузы. Это происходит, если забыть, что свойство относится только к катету напротив 30°. Проверьте положение сторон: гипотенуза лежит напротив прямого угла, а нужный катет — напротив угла 30°.

Делят пополам катет, а не гипотенузу. Ошибка возникает, когда неясно, какая сторона лежит напротив заданного угла. Перед вычислением отметьте угол 30° и найдите сторону, которая не касается его вершины; именно её длину сравнивают с гипотенузой.

Если катет известен, гипотенузу иногда находят делением на 2. Так путают направление вычисления: катет — половина гипотенузы, следовательно, гипотенуза вдвое больше катета. Проверка простая: при катете 6 см ответом должно быть 12 см, а не 3 см, потому что половина 12 равна 6.

Применяют свойство к любому треугольнику или без установленного угла 30°. Причина — формулу запоминают отдельно от условий, при которых она верна. Перед решением проверьте наличие прямого угла и убедитесь, что нужный катет расположен напротив 30°; если этого нет, данное свойство пока применять нельзя.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны знания о сумме углов треугольника: они помогают найти второй острый угол прямоугольного треугольника. Также важно знать, что катеты образуют прямой угол, а гипотенуза лежит напротив него. Умение распознавать стороны по их положению относительно угла позволяет правильно выбрать нужный катет. Свойство используют при вычислении сторон прямоугольных треугольников и при изучении специальных соотношений между их сторонами.

Что запомнить

• Свойство относится к прямоугольному треугольнику.
• Угол 30° — острый угол треугольника.
• Катет напротив угла 30° равен половине гипотенузы.
• Гипотенуза вдвое больше катета напротив угла 30°.
• Перед вычислением определи, какой катет лежит напротив угла 30°.
• Ответ можно проверить, удвоив найденный катет и сравнив результат с гипотенузой.