§ 48. Свойство диаметра, перпендикулярного к хорде

Определения и обозначения

Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Например, отрезок CD между точками C и D окружности является хордой. Диаметр тоже служит хордой, но проходит через центр и имеет наибольшую длину среди хорд.

Диаметр окружности — хорда, проходящая через центр окружности. Обозначим центр буквой O, а концы диаметра — буквами A и B; тогда AB — диаметр, а точка O лежит на нём. Это обозначение поможет следить за тем, какие отрезки относятся к диаметру, а какие — к хорде.

Перпендикулярные прямая и хорда пересекаются под прямым углом, то есть угол между ними равен 90°. В этой теме рассматривается прямая, которая проходит через центр окружности и перпендикулярна хорде. Условие о прямом угле нужно, чтобы применить свойство диаметра.

Середина хорды — точка на хорде, которая делит её на два равных отрезка. Если M — середина CD, то MC = MD. В задаче важно выяснить, является ли точка пересечения диаметра с хордой именно такой точкой.

Как это устроено

Проведём диаметр AB через центр O так, чтобы он был перпендикулярен хорде CD, и обозначим точку пересечения через M. Тогда O, M лежат на одном диаметре, а C, M, D — на одной хорде. Угол OMC и угол OMD прямые, потому что диаметр пересекает хорду под углом 90°. Эти обозначения позволяют сравнить две части хорды через два треугольника.

Рассмотрим треугольники OMC и OMD. Они прямоугольные: прямые углы находятся при M. Их гипотенузы OC и OD — радиусы одной окружности, поэтому OC = OD. Кроме того, OM — общий катет, то есть этот отрезок входит в оба треугольника и равен самому себе. Значит, треугольники равны по гипотенузе и катету.

У равных треугольников соответствующие стороны равны, поэтому MC = MD. Следовательно, M является серединой хорды CD, а диаметр AB делит хорду пополам. Причина здесь не просто в том, что диаметр пересекает хорду: равенство частей получается благодаря прямому углу и равным радиусам.

Треугольники OMC и OMD равны, поэтому равны и углы COM и MOD. Значит, лучи OC и OD расположены симметрично относительно прямой OM, которая лежит на диаметре AB. Поэтому точки C и D симметричны относительно диаметра, а он делит пополам две дуги CD, находящиеся по разные его стороны. Речь идёт именно о дугах, концы которых — C и D.

Свойство полезно, когда нужно разделить известную длину хорды на две части или, наоборот, найти всю хорду по длине одной части. Если известны радиус и расстояние от центра до хорды, перпендикулярный отрезок и половина хорды образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой-радиусом. Тогда можно применить теорему Пифагора. А в доказательствах равенства сначала находят равные треугольники, а затем используют равенство их сторон или углов.

Что следует из перпендикулярности диаметра хорде

Пользуйся таблицей, начиная с условия: проверь, что прямая проходит через центр и образует с хордой прямой угол. Затем можно заключить, что точка пересечения — середина хорды, а её части равны. Вывод о дугах относится к двум дугам CD по разные стороны этого диаметра.

Разбор задач

Задача 1. Диаметр окружности перпендикулярен хорде длиной 14 см. Найдите длины частей хорды. Здесь уже дано главное условие свойства: диаметр пересекает хорду под прямым углом. Поэтому точка пересечения — середина хорды, и две части равны. Чтобы найти каждую из них, нужно разделить общую длину пополам.

1. Обозначим точку пересечения диаметра с хордой через M.
2. По свойству перпендикулярный хорде диаметр делит её пополам, значит, обе части имеют одинаковую длину.
3. Вычислим длину каждой части: 14 : 2 = 7 см.

Ответ: 7 см и 7 см.

Задача 2. Радиус равен 13 см, расстояние от центра до хорды — 5 см. Диаметр через центр перпендикулярен хорде. Найдите её длину. Сначала используем свойство: перпендикуляр из центра попадает в середину хорды. Затем рассмотрим прямоугольный треугольник, где радиус — гипотенуза, расстояние до хорды и половина хорды — катеты.

1. Пусть M — точка пересечения диаметра и хорды CD. Тогда OM = 5 см, OC = 13 см, а MC — половина хорды.
2. По теореме Пифагора MC² + OM² = OC². Поэтому MC² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144.
3. Так как длина отрезка положительна, MC = √144 = 12 см. Вся хорда CD состоит из двух таких отрезков: CD = 2 · 12 = 24 см.

Ответ: 24 см.

Задача 3. Диаметр перпендикулярен хорде CD и пересекает её в точке M. Докажите, что треугольники OMC и OMD равны и дуги CD по обе стороны диаметра равны. Так как угол при M прямой, оба треугольника прямоугольные. Для равенства достаточно найти у них равные гипотенузы и один равный катет; после этого равенство дуг можно связать с симметрией.

1. OC и OD — радиусы одной окружности, поэтому OC = OD. Это гипотенузы прямоугольных треугольников OMC и OMD.
2. Отрезок OM общий для треугольников, значит, OM = OM. У них равны гипотенузы и катеты, поэтому треугольники равны по гипотенузе и катету.
3. Из равенства треугольников следует, что углы COM и MOD равны. Лучи OC и OD симметричны относительно диаметра AB, поэтому и дуги CD по разные стороны диаметра равны.

Ответ: треугольники OMC и OMD равны; дуги CD по разные стороны диаметра равны.

Типичные ошибки

• Ошибка: считать, что любой диаметр делит любую хорду пополам. Часто так думают, потому что диаметр проходит через центр, но для вывода нужен ещё прямой угол с хордой. Проверь, указана ли перпендикулярность или доказан ли угол 90°.
• Ошибка: приравнивать отрезки хорды к радиусам. Радиусы OC и OD равны между собой, но каждый из них соединяет центр с точкой окружности, а MC и MD являются частями хорды. Сверь концы каждого отрезка с условием задачи: равными по свойству оказываются MC и MD.
• Ошибка: объявлять точку пересечения диаметра с хордой её серединой без проверки прямого угла. Такое заключение верно только при перпендикулярности диаметра хорде. Перед делением длины хорды пополам найди в условии или докажи угол 90°.
• Ошибка: говорить просто «дуги равны», не указывая, о каких дугах идёт речь. Это может запутать, поскольку концами обеих дуг служат C и D. Уточни, что сравниваются дуги CD, расположенные по разные стороны перпендикулярного диаметра.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны определения окружности, радиуса, хорды и диаметра, а также признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету. Свойство помогает находить длину хорды через радиус и расстояние от центра до неё: половина хорды вместе с этим расстоянием образует прямоугольный треугольник. Оно также связано с перпендикулярностью прямых и доказательством равенства отрезков и дуг.

Что запомнить

• Диаметр проходит через центр окружности.
• Если диаметр перпендикулярен хорде, то он делит её пополам.
• Точка пересечения перпендикулярного диаметра с хордой — середина хорды.
• Части хорды, полученные при таком пересечении, равны.
• Перпендикулярный хорде диаметр делит пополам стягиваемые ею дуги.
• Для применения свойства необходимо проверить и прохождение прямой через центр, и её перпендикулярность хорде.