§ 49. Равенство дуг одной окружности

Определения и обозначения

Дуга окружности — часть окружности между двумя её точками. Её обозначают двумя буквами с дугой сверху, например ⌒AB; если по этим точкам можно выбрать разные дуги и это важно, указывают третью точку на нужной дуге. Такое обозначение помогает точно понять, какую часть окружности сравнивают.

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности; его стороны пересекают окружность в двух точках. Например, ∠AOB — центральный угол, если O — центр, а A и B лежат на окружности. Он нужен, чтобы задавать меру соответствующей дуги: для меньшей дуги её градусная мера равна мере этого угла.

Равные дуги одной окружности — дуги, имеющие одинаковую градусную меру. Это определение позволяет заменить сравнение изогнутых частей окружности сравнением чисел: если меры дуг ⌒AB и ⌒CD одинаковы, дуги равны. Условие «одной окружности» существенно, потому что речь идёт о дугах с общими центром и радиусом.

Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорда AB стягивает дугу ⌒AB, поэтому её длина помогает сравнивать дуги: в одной окружности равным хордам соответствуют равные меньшие дуги. Хорда нужна в задачах, где дуги напрямую не измерены, но известны отрезки.

Как это устроено

Чтобы связать дугу с углом, проведём радиусы к её концам. Получится центральный угол, а его вершина окажется в центре окружности. Для меньшей дуги градусная мера равна градусной мере этого угла, потому что угол задаёт, какую часть полного оборота занимают радиусы. Полный оборот равен 360°, поэтому дуги вместе с соответствующими центральными углами можно сравнивать по градусам.

Если две дуги одной окружности равны, их градусные меры совпадают. Значит, равны и центральные углы, опирающиеся на эти дуги. Верно и обратное: равным центральным углам соответствуют равные дуги, поскольку каждый угол задаёт такую же часть одного и того же круга. Поэтому в задаче часто достаточно доказать равенство углов, а затем сделать вывод о дугах.

Равенство дуг связано и с равенством хорд. Если центральные углы равны, их стороны являются радиусами одной окружности, то есть попарно равны. Треугольники, образованные двумя радиусами и соответствующими хордами, равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда следует равенство хорд; именно поэтому равные дуги стягиваются равными хордами.

Обратное рассуждение тоже полезно. Если хорды одной окружности равны, то треугольники с этими хордами и радиусами равны по трём сторонам. Их центральные углы равны, а значит, равны и меньшие дуги, на которые эти углы опираются. Важно говорить именно о меньших дугах: одна и та же хорда задаёт также большую дугу, и её мера дополняет меньшую до 360°.

Диаметр соединяет две противоположные точки окружности и проходит через центр. Он делит окружность на две полуокружности, каждая из которых имеет меру 180°. Поэтому, если дуги составляют всю окружность, сумма их мер равна 360°, а если вместе образуют полуокружность — 180°. Эти суммы помогают найти неизвестную дугу, но сами по себе ещё не доказывают равенство двух дуг.

Как сравнивать дуги

Сначала найди, что именно дано: угол, хорда или сумма мер дуг. Затем проверь, что сравниваемые дуги относятся к одной окружности, и выбери подходящую связь из таблицы. Если дуга большая, уточни, не нужно ли вычесть меру меньшей дуги из 360°.

Разбор задач

Задача. В окружности с центром O хорды AB и CD равны. Известно, что меньшая дуга AB имеет меру 74°. Найти меру меньшей дуги CD и соответствующего ей центрального угла ∠COD. Перед вычислениями важно связать данные отрезки с дугами: хорды принадлежат одной окружности, значит, можно применить свойство равных хорд.

1. Запишем, что AB = CD. Это не равенство дуг само по себе, а равенство прямых отрезков, соединяющих концы дуг. Условие задачи указывает, что хорды находятся в одной окружности, поэтому для них действует свойство о соответствии равных хорд и меньших дуг.

2. Из равенства хорд следует, что меньшие дуги AB и CD равны. Следовательно, градусная мера дуги CD такая же, как у дуги AB. Подставляем известное значение: ⌒CD = 74°.

3. Центральный угол ∠COD опирается на меньшую дугу CD. Мера такого угла равна мере дуги, поэтому ∠COD = 74°. Здесь важно, что речь идёт о меньшей дуге, а не о дополнительной большой дуге.

4. Проверим результат: обе меньшие дуги имеют одинаковую меру, значит, соответствующие центральные углы тоже равны. Их сумма не обязана составлять 180° или 360°, потому что это две отдельные дуги, а не части одной составленной фигуры.

Ответ: мера меньшей дуги CD равна 74°, а ∠COD = 74°.

Типичные ошибки

Ошибка: сравнивать дуги разных окружностей только по равенству центральных углов. Это допускают, потому что угол выглядит достаточной мерой дуги, но в задачах о равенстве дуг требуется учитывать условие: дуги принадлежат одной окружности. Проверяй обозначения и центр: если окружности разные, одного равенства углов недостаточно, чтобы утверждать равенство самих дуг как геометрических частей.

Ошибка: считать дугу и хорду одним и тем же. Дугу мысленно проводят по окружности, а хорда — прямой отрезок между её концами; их длины устроены по-разному. Эта путаница возникает из-за того, что хорда стягивает дугу. Для самопроверки спроси себя, лежит ли объект целиком на окружности или соединяет её точки прямой.

Ошибка: путать меньшую и большую дуги с одинаковыми концами. Две точки делят окружность на две дуги, поэтому одних букв концов иногда недостаточно. Ошибку легко допустить, если не отметить, о какой части окружности говорит условие. Проверяй, какая дуга имеется в виду: меры меньшей и большей дуг в сумме дают 360°.

Ошибка: выводить равенство дуг из того, что их сумма равна 180° или 360°. Такая сумма показывает, что дуги образуют полуокружность или полную окружность, но не говорит, равны ли они между собой. Чтобы доказать равенство, сравни их меры, центральные углы или соответствующие хорды. Например, дуги 60° и 120° вместе дают 180°, но не равны.

Связь с другими темами

Равенство дуг опирается на понятия радиуса, окружности и центрального угла, а также на измерение углов в градусах. Связь дуг с хордами позволяет применять признаки равенства треугольников: радиусы в одной окружности равны, поэтому можно сравнивать треугольники, образованные радиусами и хордами. Понимание этих связей пригодится при решении задач на окружность, углы и отрезки.

Что запомнить

• Равные дуги одной окружности имеют одинаковую градусную меру.
• Равным дугам соответствуют равные центральные углы, и наоборот.
• Равные хорды одной окружности стягивают равные меньшие дуги.
• Мера полной окружности равна 360°, а полуокружности — 180°.
• Перед сравнением уточняй, что дуги принадлежат одной окружности и какая именно дуга имеется в виду.