"Геометрия (изд. «Просвещение»)", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Вписанная окружность касается всех сторон многоугольника, а описанная проходит через все его вершины. Для треугольника обе окружности существуют всегда: их центры находят с помощью биссектрис и серединных перпендикуляров. Зная площадь, стороны и полупериметр, можно вычислить радиусы этих окружностей. Свойства окружностей помогают решать задачи о треугольниках и распознавать вписанные четырёхугольники.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Вписанная окружность — окружность, касающаяся всех сторон многоугольника. Касание означает, что окружность и сторона имеют одну общую точку, а радиус, проведённый в неё, перпендикулярен стороне. Центр такой окружности обычно обозначают O, а её радиус — r.
Описанная окружность — окружность, проходящая через все вершины многоугольника. Вершины лежат на окружности, поэтому расстояние от её центра O до каждой вершины одинаково и равно радиусу R. Это позволяет связывать стороны и углы фигуры с одним общим центром.
Центр вписанной окружности треугольника — точка пересечения биссектрис его внутренних углов. Биссектриса делит угол пополам, а найденная точка одинаково удалена от всех сторон. Поэтому из неё можно провести окружность, касающуюся каждой стороны.
Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Серединный перпендикуляр проходит через середину отрезка под прямым углом. Точка на нём равноудалена от концов стороны, что и обеспечивает прохождение окружности через все вершины.
Расстояния от точки до сторон угла измеряют длинами перпендикуляров. Если точка лежит на биссектрисе, то два образовавшихся прямоугольных треугольника имеют общий гипотенузный отрезок и равные углы при вершине. Поэтому их соответствующие катеты, то есть расстояния до сторон угла, равны. Так объясняется, почему центр вписанной окружности лежит на биссектрисах.
Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов: при соединении этой точки с концами получаются равные прямоугольные треугольники. Значит, точка пересечения серединных перпендикуляров к двум сторонам треугольника одинаково удалена от трёх вершин. Расстояние до каждой вершины становится радиусом описанной окружности.
Две биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка лежит также на третьей биссектрисе: она равноудалена от двух сторон каждого из углов. Поэтому вокруг неё можно провести окружность с радиусом, равным расстоянию до сторон. Аналогично, два серединных перпендикуляра пересекаются в точке, равноудалённой от всех трёх вершин, поэтому описанная окружность существует у любого треугольника.
Соединим центр вписанной окружности с вершинами треугольника. Получатся три треугольника, высота каждого равна r, а сумма их оснований равна периметру P. Поэтому S = ½Pr = pr, где p = P/2, и отсюда r = S/p. Для описанной окружности из формулы площади S = ½bc sin A и теоремы синусов a/sin A = 2R получаем S = abc/(4R), значит R = abc/(4S).
| Свойство | Вписанная окружность | Описанная окружность |
|---|---|---|
| Связь с фигурой | Касается всех сторон | Проходит через все вершины |
| Центр | Точка пересечения биссектрис углов | Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам |
| Равенство расстояний | Расстояния от центра до всех сторон равны радиусу r | Расстояния от центра до всех вершин равны радиусу R |
| Формула радиуса треугольника | r = S/p, где S — площадь, p — полупериметр | R = abc/(4S), где a, b, c — стороны, S — площадь |
| Расположение центра | Всегда внутри треугольника | Внутри остроугольного, на середине гипотенузы прямоугольного, вне тупоугольного треугольника |
Сначала определите, о какой окружности говорится: касание сторон относится к вписанной, а прохождение через вершины — к описанной. Затем выберите строку с нужным свойством или формулой. В последней строке таблицы учитывайте вид треугольника, иначе можно неверно представить положение центра.
Площадь треугольника равна 30 см², а полупериметр — 15 см. Найдём радиус вписанной окружности.
Ответ: 2 см.
Стороны треугольника равны 6 см, 8 см и 10 см. Найдём радиусы обеих окружностей.
Ответ: r = 2 см, R = 5 см.
В выпуклом четырёхугольнике ABCD ∠A + ∠C = 180°. Докажем, что он вписанный, и найдём ∠C, если ∠A = 68°.
Ответ: четырёхугольник является вписанным, ∠C = 112°.
Путаница окружностей. Вписанную окружность иногда считают проходящей через вершины, а описанную — касающейся сторон. Проверяйте себя по словам: «вписана» — касается сторон, «описана около фигуры» — проходит через вершины.
Неверный центр вписанной окружности. Пересечение медиан или высот принимают за нужную точку, потому что все эти линии встречаются в треугольнике. Центр вписанной окружности ищут только как пересечение биссектрис; расстояния от него до сторон должны быть равны.
Периметр вместо полупериметра. В формуле r = S/p буква p означает половину периметра, а не весь периметр. Перед вычислением запишите p = (a + b + c)/2 и проверьте размерность результата.
Центр описанной окружности всегда внутри. Это верно лишь для остроугольного треугольника. Сравните углы: в прямоугольном случае центр лежит на гипотенузе, а при тупом угле оказывается вне треугольника.
Для понимания темы нужны биссектриса угла, серединный перпендикуляр, свойства равноудалённых точек, площадь и полупериметр треугольника. Позже эти окружности встретятся при изучении правильных многоугольников, теоремы синусов и задач на площади и радиусы. С четырёхугольниками связаны признаки вписанной и описанной фигур.
Чем вписанная окружность отличается от описанной?
Вписанная окружность касается всех сторон фигуры, поэтому её радиус перпендикулярен стороне в точке касания. Описанная окружность проходит через все вершины фигуры, а расстояния от её центра до вершин равны радиусу.
Почему центр вписанной окружности находится на биссектрисах?
Любая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон. Поэтому точка, равноудалённая от всех сторон треугольника, должна лежать на биссектрисах его углов.
Может ли центр описанной окружности находиться вне треугольника?
Да, если треугольник тупоугольный. В остроугольном треугольнике центр находится внутри, в прямоугольном — на середине гипотенузы, а в тупоугольном — вне треугольника.
Почему в формуле r = S/p используется полупериметр?
Если соединить центр вписанной окружности с вершинами треугольника, он распадётся на три треугольника с высотой r. Их основания в сумме дают периметр, поэтому S = ½Pr = pr, где p = P/2.
Как доказать, что четырёхугольник является вписанным?
Для выпуклого четырёхугольника достаточно доказать, что сумма двух противоположных углов равна 180°. Например, если ∠A + ∠C = 180°, то около четырёхугольника можно описать окружность.
§ 12. Вписанные и описанные окружности
