"Геометрия (изд. «Просвещение»)", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Описанная окружность проходит через все вершины многоугольника, а сам многоугольник называют вписанным в неё. Знание этой темы помогает строить окружности около фигур и находить расстояния от их центра до вершин. Центр описанной окружности равноудалён от всех вершин, поэтому его можно искать с помощью серединных перпендикуляров к сторонам. Около любого треугольника и любого правильного многоугольника такая окружность существует, но для произвольной фигуры это не всегда возможно.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Описанная окружность — окружность, проходящая через все вершины данного многоугольника. Это определение помогает понять, какие фигуры можно считать вписанными в окружность: ни одна вершина не должна лежать вне неё или внутри неё.
Вписанный многоугольник — многоугольник, все вершины которого лежат на одной окружности. Значит, стороны такого многоугольника соединяют соседние точки окружности и являются её хордами, то есть отрезками с концами на окружности. Это удобно, когда свойства окружности нужно применить к углам или сторонам фигуры.
Центр описанной окружности — точка, равноудалённая от всех вершин многоугольника. Такое свойство позволяет находить центр геометрическим построением: достаточно найти точку, которая одинаково удалена от концов нескольких сторон.
Радиус описанной окружности — расстояние от её центра до любой вершины многоугольника. Все такие расстояния одинаковы, поэтому для обозначения радиуса обычно используют букву R. Радиус нужен, чтобы строить окружность и вычислять её элементы.
У вписанного многоугольника вершины лежат на окружности по самому определению, а каждая его сторона соединяет две соседние вершины. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой, поэтому все стороны такого многоугольника являются хордами одной окружности. Именно поэтому у него нет вершин, не принадлежащих окружности, хотя внутренние точки сторон обычно лежат внутри круга.
Пусть центр окружности O проходит через концы стороны AB. Тогда OA и OB — радиусы, а значит, они равны. Геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка AB, — серединный перпендикуляр к нему: прямая проходит через середину отрезка и перпендикулярна ему. Следовательно, центр описанной окружности обязан лежать на серединном перпендикуляре к каждой стороне многоугольника.
У треугольника можно провести серединные перпендикуляры к двум сторонам, например AB и BC. Они не параллельны, поскольку иначе AB и BC были бы параллельны и не образовали бы угол при вершине B; значит, прямые пересекутся в точке O. Эта точка равноудалена от A и B, а также от B и C, поэтому OA = OB = OC. Окружность с центром O и радиусом OA проходит через все три вершины; так доказывается, что через любые три вершины треугольника можно провести окружность.
У правильного многоугольника все стороны и углы равны, а поворот вокруг его центра на одинаковый центральный угол переводит каждую вершину в следующую. Поэтому вершины располагаются на одинаковом расстоянии от центра: повороты сохраняют расстояния и переводят вершины друг в друга. Окружность с центром симметрии и этим расстоянием в качестве радиуса проходит через все вершины. Значит, описанная окружность существует у любого правильного многоугольника, а её центр совпадает с центром многоугольника.
Соединим центр правильного многоугольника с концами одной стороны. Получится равнобедренный треугольник с боковыми сторонами R, основанием a и углом при вершине, равным центральному углу 2π/n. Перпендикуляр из центра к стороне делит её пополам и делит центральный угол пополам. В прямоугольном треугольнике sin(π/n) = (a/2)/R, откуда R = a/(2·sin(π/n)). Формула связывает радиус, сторону и половину центрального угла; она применима с учётом числа сторон n.
| Фигура | Условие существования описанной окружности | Как находят центр | Связь с радиусом |
|---|---|---|---|
| Треугольник | Окружность существует для любого треугольника | Пересечение серединных перпендикуляров к двум сторонам | Центр равноудалён от трёх вершин |
| Правильный многоугольник | Окружность существует для любого правильного многоугольника | Центр симметрии многоугольника | R = a/(2·sin(π/n)) |
| Четырёхугольник | Суммы противоположных углов равны 180° | Пересечение серединных перпендикуляров к сторонам | Все четыре вершины равноудалены от центра |
| Произвольный многоугольник | Не всегда существует одна окружность через все вершины | Проверка общего центра для вершин | Все расстояния от центра до вершин должны быть одинаковыми |
Сначала проверьте условие в строке, соответствующей вашей фигуре: оно показывает, можно ли рассчитывать на одну окружность через все вершины. Затем найдите центр указанным способом и убедитесь, что расстояния до вершин равны. Для правильного многоугольника радиус можно вычислить по формуле, подставив длину стороны и число сторон.
Задача 1. Для треугольника ABC описать окружность и указать способ построения её центра. Нужно получить точку, равноудалённую от A, B и C. Равенство расстояний до концов стороны обеспечивается принадлежностью серединному перпендикуляру, поэтому построение начинают с этих прямых.
Ответ: центр окружности — пересечение серединных перпендикуляров к двум сторонам, радиус можно взять равным OA. Окружность с таким центром проходит через все три вершины треугольника. Для тупоугольного треугольника центр окажется за его пределами, но построение остаётся тем же.
Задача 2. Найдите радиус описанной окружности правильного шестиугольника со стороной 8 см. Можно воспользоваться общей формулой, где a = 8 и n = 6, но у шестиугольника есть и более короткое свойство. Соединив центр с концами стороны, получаем равносторонний треугольник, поскольку центральный угол равен 360°/6 = 60°.
Ответ: 8 см. Проверка через равносторонний треугольник подтверждает результат: его стороны, включая сторону шестиугольника и два радиуса, равны. Если в общей формуле забыть учесть n = 6, значение радиуса может получиться неверным.
Задача 3. У выпуклого четырёхугольника два противоположных угла равны 68° и 112°. Можно ли около него описать окружность? Найдите один из оставшихся углов, если второй равен 75°. Для вписанного выпуклого четырёхугольника суммы каждой пары противоположных углов равны 180°; проверим это условие отдельно для обеих пар.
Ответ: окружность описать можно, оставшийся противоположный угол равен 105°. Здесь проверяются обе пары противоположных углов: одной пары недостаточно, если требуется проверить условие для всей фигуры. Сумма соседних углов вместо противоположных в этом критерии не используется.
Путать описанную и вписанную окружности. Иногда слова «около» и «внутри» сбивают: описанная окружность проходит через вершины, а вписанная касается сторон. Чтобы проверить себя, проследите, что именно касается окружности: вершины или стороны. Не переносите свойства одной окружности на другую.
Считать, что окружность можно описать около любого многоугольника. Такое возможно не всегда: произвольные вершины могут не лежать на одной окружности. Ошибка возникает из-за того, что для треугольника окружность существует всегда, и это свойство ошибочно переносят на любые фигуры. Проверьте, можно ли найти один центр, одинаково удалённый от всех вершин.
Искать центр по пересечению диагоналей. Диагонали не обязаны пересекаться в центре окружности; даже если они пересекаются, точка может быть не равноудалена от вершин. Для треугольника диагоналей вообще нет. Стройте серединные перпендикуляры к сторонам и проверяйте расстояния до вершин.
Подставлять радиус правильного многоугольника без учёта числа сторон. В формуле R = a/(2·sin(π/n)) число сторон n определяет угол, поэтому одна и та же сторона у фигур с разным числом сторон даёт разные радиусы. Ошибка часто связана с тем, что подставляют a, но забывают n или путают центральный угол с его половиной. Перед вычислением найдите π/n и проверьте особый случай: для правильного шестиугольника R = a.
Для этой темы понадобятся свойства окружности и хорды, а также серединный перпендикуляр и равенство расстояний от точки до концов отрезка. Построение окружности около треугольника напрямую связано с темой треугольников: центр находят как пересечение серединных перпендикуляров. Позже эти знания пригодятся при вычислении элементов правильных многоугольников, их площадей и длин окружностей, а также при решении задач на вписанные углы.
Чем описанная окружность отличается от вписанной?
Описанная окружность проходит через все вершины многоугольника. Вписанная окружность находится внутри него и касается каждой стороны.
Почему серединные перпендикуляры определяют центр описанной окружности?
Любая точка на серединном перпендикуляре к отрезку равноудалена от его концов. Поэтому точка пересечения таких перпендикуляров к сторонам треугольника равноудалена от его вершин и служит центром описанной окружности.
Можно ли описать окружность около любого четырёхугольника?
Нет, для этого суммы противоположных углов выпуклого четырёхугольника должны быть равны 180°. Если условие выполнено, через все четыре вершины можно провести одну окружность.
Как найти радиус окружности, описанной около правильного многоугольника?
Если сторона многоугольника равна a, а число сторон — n, то R = a/(2·sin(π/n)). Формула следует из прямоугольного треугольника, образованного радиусом, половиной стороны и половиной центрального угла.
Почему центр описанной окружности может находиться вне треугольника?
У тупоугольного треугольника точка пересечения серединных перпендикуляров находится вне фигуры. При этом она всё равно равноудалена от всех трёх вершин, поэтому окружность проходит через них.
12.1. Окружность, описанная вокруг многоугольника
