12.2. Окружность, вписанная в многоугольник

Определения и обозначения

Вписанная в многоугольник окружность — окружность, касающаяся каждой его стороны. Она может находиться внутри многоугольника, но одного этого недостаточно: должно быть касание каждой стороны. Определение помогает отличить вписанную окружность от любой окружности, просто нарисованной внутри фигуры.

Многоугольник, описанный около окружности, — многоугольник, все стороны которого касаются этой окружности. Значит, если окружность вписана в многоугольник, то сам многоугольник описан около неё. Это название удобно, когда в задаче рассматривают сразу и фигуру, и окружность.

Центр вписанной окружности — точка, равноудалённая от всех сторон многоугольника. Расстояние от центра до стороны измеряют по перпендикуляру, и для вписанной окружности оно равно радиусу. Это определение помогает находить центр, радиус и площадь фигуры.

Точка касания — точка, в которой окружность имеет общую касательную со стороной многоугольника. Касательная — прямая, имеющая с окружностью одну общую точку. В точке касания радиус перпендикулярен стороне, поэтому эту точку используют при построениях и вычислении расстояний.

Как это устроено

Расстояние от точки до прямой — это длина кратчайшего отрезка, соединяющего их; таким отрезком является перпендикуляр. Если окружность касается стороны, радиус, проведённый к точке касания, перпендикулярен касательной. Поэтому расстояние от центра до стороны совпадает с радиусом, а для всех сторон одной вписанной окружности оно одинаково. Это и объясняет, почему центр равноудалён от сторон.

Рассмотрим угол и точку на его биссектрисе. Биссектриса делит угол на два равных угла, поэтому перпендикулярные расстояния от точки до обеих сторон угла равны. Если взять точку на биссектрисе за центр окружности, а общее расстояние до сторон — за радиус, окружность будет касаться обеих сторон. Так становится понятно, почему центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе.

У треугольника три угла, и центр окружности, касающейся всех трёх сторон, должен быть равноудалён от каждой из них. Точки, равноудалённые от сторон угла, лежат на его биссектрисе. Поэтому искомый центр находится на биссектрисах углов треугольника, а их пересечение и есть центр вписанной окружности. Достаточно построить две биссектрисы: третья тоже пройдёт через ту же точку.

Чтобы построить окружность, сначала проводят биссектрисы двух углов и отмечают их пересечение. Затем из этой точки опускают перпендикуляр на любую сторону треугольника. Длина перпендикуляра — расстояние от центра до стороны, то есть радиус окружности. Остаётся провести окружность с найденным центром и радиусом: одинаковое расстояние до всех сторон обеспечит касание каждой из них.

Из одной точки к окружности можно провести две касательные, и отрезки от этой точки до точек касания равны. Это следует из того, что радиусы к точкам касания перпендикулярны касательным: получаются прямоугольные треугольники с общей гипотенузой и равными радиусами, значит, их катеты равны. В описанном многоугольнике сторона между двумя соседними вершинами складывается из двух таких отрезков. Поэтому, обозначив длины отрезков касательных из вершин, можно выражать стороны через эти длины.

Основные свойства вписанной окружности

Сначала определите, что дано в задаче: касание, расстояние до стороны, центр треугольника или отрезки касательных. Затем выберите соответствующую строку и используйте свойство, чтобы составить равенство или выполнить построение. Для вычислений важно отличать перпендикулярное расстояние до стороны от наклонного отрезка.

Разбор задач

1. Проверяем, является ли окружность вписанной

Условие. На рисунке окружность расположена внутри многоугольника. Нужно определить, вписана ли она в него. Решение. Одного положения внутри фигуры недостаточно: проверим касание каждой стороны.

1. Перечислим все стороны многоугольника.
2. Для каждой стороны проверим, есть ли с окружностью ровно одна общая точка касания.
3. Если хотя бы одна сторона не касается окружности, условие определения не выполнено. Если касание есть у всех сторон, окружность вписана.

Ответ. Окружность вписана только тогда, когда касается каждой стороны многоугольника.

2. Находим радиус вписанной окружности

Условие. Стороны треугольника равны 13, 14 и 15, а его площадь равна 84. Найдём радиус вписанной окружности. Площадь такого треугольника связана с радиусом и полупериметром формулой S = pr.

1. Найдём периметр: 13 + 14 + 15 = 42.
2. Вычислим полупериметр: p = 42/2 = 21.
3. Выразим радиус из формулы площади: r = S/p. Подставим данные: r = 84/21 = 4.

Ответ. Радиус вписанной окружности равен 4. Проверка: p · r = 21 · 4 = 84, что совпадает с площадью треугольника.

3. Находим сторону описанного четырёхугольника

Условие. В описанном четырёхугольнике отрезки касательных из вершин A, B и C равны соответственно 2, 5 и 4. Найдём сторону DA, если отрезок касательной из вершины D равен 3. Обозначим через отрезок касательной расстояние от вершины до точки касания на прилегающей стороне.

1. Сторона DA состоит из отрезка от A до точки касания и отрезка от D до точки касания.
2. Из одной вершины касательные к окружности равны, поэтому на стороне DA эти отрезки имеют длины 2 и 3.
3. Сложим их: DA = 2 + 3 = 5.

Ответ. DA = 5. Для любой другой стороны рассуждали бы так же: складывали отрезки касательных из двух её концов.

Типичные ошибки

Ошибка: считать окружность вписанной, если она просто расположена внутри многоугольника. Так происходит, потому что на рисунке кажется важным только положение окружности. Проверьте отдельно каждую сторону: она должна касаться окружности в одной точке.

Ошибка: принимать за центр вписанной окружности произвольную точку внутри треугольника. Но центр должен иметь одинаковое расстояние до всех сторон, поэтому в треугольнике он лежит на биссектрисах. Проверьте, что выбранная точка находится на пересечении биссектрис.

Ошибка: измерять радиус наклонным отрезком от центра до стороны. Радиус, соединённый с точкой касания, образует со стороной прямой угол. Проведите перпендикуляр и используйте его длину как радиус.

Ошибка: считать равными любые отрезки касательных. Свойство относится только к двум касательным, проведённым из одной точки к одной окружности; отрезки из разных точек могут отличаться. Перед применением равенства проверьте, что начало обоих отрезков — одна и та же вершина.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны свойства биссектрисы угла, перпендикуляра к прямой и касательной к окружности. Биссектриса помогает найти центр, а перпендикуляр — определить радиус; свойство касательной объясняет связь стороны с радиусом. Эти знания пригодятся при решении задач на треугольники и описанные многоугольники, а также при вычислении радиусов окружностей. Например, в треугольнике можно использовать формулу площади S = pr, чтобы найти радиус по площади и полупериметру.

Что запомнить

• Вписанная окружность касается каждой стороны многоугольника.
• Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен стороне.
• Центр вписанной окружности равноудалён от всех сторон.
• В треугольнике центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис.
• Из одной точки отрезки касательных к окружности равны.
• Радиус вписанной в треугольник окружности можно найти по формуле r = S/p.