"Геометрия (изд. «Просвещение»)", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Замечательные точки треугольника — это центры и точки пересечения важных линий: медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров. Они помогают описывать свойства любой фигуры и быстро находить её элементы. Особое место занимает окружность Эйлера, или окружность девяти точек: она проходит через середины сторон, основания высот и середины отрезков от вершин к ортоцентру. Её центр связан с центрами описанной окружности и треугольника.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Центр тяжести G — точка пересечения медиан треугольника, то есть отрезков, соединяющих вершины с серединами противоположных сторон. Он нужен, чтобы находить положение равновесия треугольной пластины. Каждую медиану G делит в отношении 2:1, считая от вершины.
Центр описанной окружности O — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам. Расстояния от O до всех вершин равны, поэтому окружность с центром O проходит через три вершины. Её радиус обозначают R.
Ортоцентр H — точка пересечения высот треугольника. Высота перпендикулярна стороне или её продолжению и проходит через противоположную вершину. Ортоцентр помогает связать высоты с окружностью девяти точек.
Центр вписанной окружности I — точка пересечения биссектрис углов треугольника. Она равноудалена от всех трёх сторон, поэтому является центром окружности, касающейся этих сторон. Радиус такой окружности обычно обозначают r.
Окружность Эйлера — окружность девяти точек треугольника. Она проходит через середины сторон, основания высот и середины отрезков, соединяющих вершины с ортоцентром. Её центр N — середина OH, а радиус равен R/2.
Медианы пересекаются в одной точке, потому что каждая из них задаёт направление к середине противоположной стороны. Если провести две медианы, их общая точка уже вынужденно лежит и на третьей: это следует из отношений площадей треугольников, образованных медианами. Поэтому центр тяжести существует у любого треугольника. Деление 2:1 означает, что от вершины до G путь вдвое длиннее, чем от G до середины стороны.
Серединный перпендикуляр к отрезку состоит из точек, равноудалённых от его концов. Значит, точка пересечения двух таких перпендикуляров одинаково удалена от трёх вершин и становится центром описанной окружности. В остроугольном треугольнике O находится внутри, в прямоугольном — в середине гипотенузы, а в тупоугольном — снаружи. Такое положение объясняет, почему один и тот же способ построения работает для разных треугольников.
Высоты пересекаются в одной точке из-за перпендикулярности сторон: если через две вершины провести высоты, то перпендикулярность третьей стороне приводит к прохождению третьей высоты через ту же точку. В остроугольном треугольнике H лежит внутри, в прямоугольном совпадает с вершиной прямого угла, а в тупоугольном выходит наружу. Это позволяет находить ортоцентр даже тогда, когда основания высот лежат на продолжениях сторон.
Девять точек объединяются на одной окружности не случайно. Середины сторон связаны со средней линией и с центром описанной окружности, основания высот — с перпендикулярами, а середины отрезков AH, BH и CH получают те же расстояния до одной точки N. Центр N оказывается серединой OH, поэтому ON = NH = R/2. Кроме того, O, G и H лежат на одной прямой, причём OG:GH = 1:2, если треугольник не равносторонний.
Таблица помогает быстро сопоставить каждую точку с линиями, которые её определяют, и с главным свойством. Буквы O, G, H, I и N используются в большинстве геометрических задач. Для окружности девяти точек достаточно помнить состав точек и формулу её радиуса.
| Точка или объект | Как строится | Главное свойство |
|---|---|---|
| G — центр тяжести | Пересечение медиан | Медиана делится как 2:1 от вершины |
| O — центр описанной окружности | Пересечение серединных перпендикуляров | OA = OB = OC = R |
| H — ортоцентр | Пересечение высот | Все три высоты проходят через H |
| I — центр вписанной окружности | Пересечение биссектрис | Расстояния до сторон равны |
| N — центр окружности Эйлера | Середина OH | Радиус окружности девяти точек равен R/2 |
Сначала определите, какая линия или точка дана в условии, а затем выберите соответствующую строку. Например, по двум серединным перпендикулярам находят O, а по двум высотам — H. Если известен R, радиус окружности Эйлера можно найти сразу, не строя все девять точек.
Задача. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A, катетами AB = 6 и AC = 8. Найдите центр описанной окружности O, ортоцентр H, центр окружности девяти точек N и её радиус. Удобно использовать координаты: пусть A(0; 0), B(6; 0), C(0; 8).
Найдём гипотенузу: BC = √(6² + 8²) = √100 = 10. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности является серединой гипотенузы, поэтому O имеет координаты ((6 + 0)/2; (0 + 8)/2) = (3; 4). Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы: R = 5.
Определим ортоцентр. Высота из A совпадает с одной из осей координат, а стороны AB и AC уже перпендикулярны. Следовательно, две высоты пересекаются в вершине прямого угла, поэтому H = A = (0; 0). Это частный случай общего свойства ортоцентра прямоугольного треугольника.
Центр окружности девяти точек — середина OH. Поэтому N = ((3 + 0)/2; (4 + 0)/2) = (1,5; 2). Расстояние ON равно √(1,5² + 2²) = √6,25 = 2,5. Полученное число совпадает с R/2, как и должно быть.
Проверим результат на середине стороны AB: M(3; 0). Расстояние NM = √((3 − 1,5)² + (0 − 2)²) = √6,25 = 2,5. Значит, M лежит на окружности с центром N и радиусом 2,5; аналогично на ней лежат и остальные восемь точек.
Ответ: O(3; 4), H(0; 0), N(1,5; 2), радиус окружности Эйлера равен 2,5.
Путать центр описанной и вписанной окружности. O равноудалён от вершин, а I — от сторон. Ошибка появляется из-за похожих названий «описанная» и «вписанная». Проверьте себя вопросом: измеряются расстояния до вершин или до сторон?
Считать, что ортоцентр всегда находится внутри. Это верно только для остроугольного треугольника. В прямоугольном он совпадает с вершиной прямого угла, а в тупоугольном лежит снаружи. Чтобы не ошибиться, продолжите высоты и учитывайте продолжения сторон.
Называть окружность Эйлера окружностью через любые девять точек. В неё входят строго три вида точек: середины сторон, основания высот и середины отрезков от вершин к H. Проверка проста: для каждой точки определите, к какому из этих трёх видов она относится, а радиус сравните с R/2.
Центр тяжести связан с медианами и площадями: медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Это помогает доказывать отношение 2:1 и решать задачи на координаты.
Центры O и I опираются на свойства серединного перпендикуляра и биссектрисы. Их положение связано с окружностями, расстояниями и равенством углов.
Окружность Эйлера объединяет высоты, средние линии и описанную окружность. Поэтому её свойства применяются в задачах на подобие, координаты и теорему Пифагора.
Какие точки называют замечательными точками треугольника?
Так называют точки, которые выделяются своими геометрическими свойствами и строятся с помощью основных линий треугольника. К ним относят центр тяжести, центр описанной окружности, ортоцентр и центр вписанной окружности.
Что такое окружность девяти точек?
Это окружность, проходящая через девять важных точек треугольника: середины трёх сторон, основания трёх высот и середины трёх отрезков от вершин к ортоцентру. Её радиус равен половине радиуса описанной окружности.
Что показывает линия Эйлера?
В неравностороннем треугольнике на одной прямой лежат центр описанной окружности, центр тяжести и ортоцентр. Эта прямая называется линией Эйлера, а центр тяжести делит отрезок между ортоцентром и центром описанной окружности в отношении 1:2.
12.3. Замечательные точки треугольника. Окружность Эйлера
