"Геометрия (изд. «Просвещение»)", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Окружность — линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра, а круг — часть плоскости внутри этой линии. Чтобы измерять круговые предметы и решать геометрические задачи, используют длину окружности и площадь круга. Их вычисляют с помощью числа π: длина зависит от радиуса или диаметра, а площадь — от квадрата радиуса. Разберём, откуда берутся формулы и как не перепутать величины.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Окружность — множество точек плоскости, равноудалённых от одной точки, которую называют центром. Расстояние от центра до любой точки окружности — радиус r. Центр и радиус задают положение и размер окружности, поэтому по ним можно описать её и вычислить связанные с ней величины.
Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью. Окружность представляет собой только границу, а круг включает и границу, и все точки внутри неё. Это различие помогает понять, почему длину считают для линии, а площадь — для части плоскости.
Длина окружности — длина линии, образующей окружность; её обозначают C. Она связана с диаметром d и радиусом r: диаметр вдвое больше радиуса, d = 2r. Зная один из этих размеров, можно найти, например, длину края круглого предмета.
Площадь круга — площадь части плоскости, ограниченной окружностью; её обозначают S. В отличие от длины границы, площадь показывает, сколько места занимает круг. Её выражают в квадратных единицах, например в см² или м².
У всех окружностей отношение длины к диаметру одинаково. Если увеличить окружность в несколько раз, все её линейные размеры, в том числе длина и диаметр, увеличатся во столько же раз. Поэтому их отношение не изменится; это постоянное отношение обозначают греческой буквой π и называют числом пи.
Из равенства C/d = π сразу следует формула C = πd. Поскольку диаметр состоит из двух радиусов, d = 2r, вместо диаметра можно подставить два радиуса: C = π · 2r = 2πr. Выбор формулы зависит от того, какая величина дана в условии: при известном диаметре удобнее первая, при известном радиусе — вторая.
Площадь круга можно объяснить, если разрезать его на много узких секторов — частей, похожих на кусочки пирога. Если чередовать их острыми вершинами вверх и вниз, получится почти прямоугольник, хотя его края будут немного волнистыми. Чем уже сектора, тем меньше неровности и тем ближе получившаяся фигура к прямоугольнику.
У такого прямоугольника одна сторона стремится к половине длины окружности. Половина длины равна C/2 = 2πr/2 = πr, а другая сторона равна радиусу r — высоте секторов. Поэтому площадь близкой к прямоугольнику фигуры равна πr · r, то есть S = πr²; при всё более узком разбиении этот результат становится точным.
Перед вычислением проверь, дан радиус или диаметр: эти величины различаются в два раза. Для длины можно подставить диаметр прямо в C = πd, а для площади в S = πr² нужен именно радиус. Если в задаче дан диаметр, сначала найди половину этой величины; так проще избежать ошибки и правильно записать единицы.
| Величина | Обозначение | Формула через радиус | Формула через диаметр | Единицы измерения |
|---|---|---|---|---|
| Длина окружности | C | 2πr | πd | единицы длины: мм, см, м |
| Площадь круга | S | πr² | πd²/4 | квадратные единицы: см², м² |
| Связь радиуса и диаметра | r, d | r = d/2 | d = 2r | единицы длины: мм, см, м |
Сначала найди в условии известную величину — радиус или диаметр, — а затем выбери подходящий столбец с формулой. В строке площади формула через диаметр уже учитывает, что радиус вдвое меньше диаметра. Последний столбец помогает проверить, не перепутаны ли единицы длины и площади.
Задача 1. Найти длину окружности радиуса 5 см. Радиус уже известен, поэтому выбираем формулу C = 2πr. Сохраним точное значение через π, чтобы не округлять ответ раньше времени.
Ответ: 10π см, или приблизительно 31,4 см. Единица измерения — сантиметр, потому что мы нашли длину линии.
Задача 2. Найти площадь круга, если его диаметр равен 12 м. В формуле площади нужен радиус, поэтому сначала переведём известный диаметр в радиус. Только после этого подставим значение в S = πr².
Ответ: 36π м², или приблизительно 113,04 м². В записи площади стоят квадратные метры, так как речь идёт о размере области внутри окружности.
Задача 3. Длина окружности равна 18π см. Найти радиус и площадь ограниченного ею круга. Длина дана в виде выражения с π, поэтому удобно использовать формулу длины, в которой π сократится. Затем найденный радиус позволит вычислить площадь.
Ответ: радиус равен 9 см, площадь круга — 81π см². Проверка единиц показывает, что радиус выражен в сантиметрах, а площадь — в квадратных сантиметрах.
Первая ошибка — подставить диаметр вместо радиуса в формулу S = πr². Так часто происходит, потому что диаметр дан в условии и кажется, что его можно сразу использовать; но он вдвое больше нужного значения. Проверь обозначения: если известен d, сначала вычисли r = d/2 и только потом возводи радиус в квадрат.
Вторая ошибка — записать C = πr, забыв множитель 2. Путаница возникает, когда в формуле через диаметр C = πd заменяют d радиусом, но забывают, что d = 2r. Подставь вместо диаметра два радиуса: C = π · 2r = 2πr; так можно проверить формулу.
Третья ошибка — записать площадь в линейных единицах, например см вместо см². Это случается, когда при вычислении смотрят только на числа и не проверяют смысл результата. Площадь относится к области, поэтому ответ должен быть в квадратных единицах; длина окружности, напротив, измеряется в обычных единицах длины.
Четвёртая ошибка — слишком рано округлить π или промежуточные вычисления. Из-за этого округлённая погрешность может повлиять на итоговый ответ, особенно если в решении несколько действий. Сначала оставь выражение с π точным, а приближённое значение вычисли в конце, если его требует условие.
Для работы с окружностью понадобятся определения радиуса, диаметра, круга и окружности, а также равенство d = 2r. Формулы требуют умения выполнять вычисления с буквенными выражениями и находить площади и длины. Понимание этих величин пригодится при изучении длины дуги и площади сектора — части круга, ограниченной двумя радиусами и дугой. Те же вычисления используют при измерении круглых предметов, например чтобы определить длину края или площадь поверхности круга.
Чем круг отличается от окружности?
Окружность — это только замкнутая линия, каждая точка которой равноудалена от центра. Круг включает и эту границу, и всю часть плоскости внутри неё.
Почему отношение длины окружности к диаметру одинаково для всех окружностей?
Все окружности подобны: одну можно увеличить или уменьшить, умножив все её размеры на один и тот же коэффициент. Поэтому длина и диаметр меняются в одинаковое число раз, а их отношение остаётся постоянным — это число π.
Как найти длину окружности, если известен её диаметр?
Умножь диаметр d на число π: C = πd. Если нужен приближённый ответ, подставь π ≈ 3,14.
Почему в формуле площади круга радиус возводится в квадрат?
Если круг увеличить в несколько раз, его площадь возрастёт в квадрат этого числа раз. При разбиении круга на узкие секторы получается фигура, похожая на прямоугольник со сторонами πr и r, поэтому её площадь равна πr².
Что делать, если в задаче дана площадь круга, а нужно найти радиус?
Из равенства S = πr² вырази радиус: r = √(S/π). Подставь площадь, вычисли значение и проверь, что радиус записан в единицах длины.
§ 13. Длина окружности и площадь круга
