"Геометрия (изд. «Просвещение»)", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Длину кривой нельзя измерить так же прямо, как длину отрезка, поэтому её находят с помощью приближений. К кривой вписывают ломаные и уточняют их, делая звенья всё короче. Для окружности измерение приводит к постоянному отношению её длины к диаметру — числу π. Зная радиус или диаметр, можно вычислить длину окружности, а затем, например, найти путь, пройденный колесом.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Длина кривой — предел длин вписанных в неё ломаных при неограниченном измельчении разбиения. Иначе говоря, кривую измеряют не одним отрезком, а всё более точными приближениями. Такое определение позволяет говорить о длине даже у линии, которую нельзя выпрямить без изменения её формы.
Вписанная ломаная — ломаная, вершины которой лежат на кривой. Её звенья заменяют небольшие участки кривой отрезками, поэтому длина ломаной служит приближением длины кривой. Чем больше подходящих точек выбрано, тем точнее можно описать форму линии.
Длина окружности — длина замкнутой кривой, образующей окружность. Как и длину любой другой кривой, её можно представить через длины вписанных ломаных. Для окружности существует также удобная формула, связывающая длину с размером окружности.
Число π — постоянное отношение длины окружности к её диаметру. Оно одинаково для больших и маленьких окружностей, поэтому позволяет вычислять длину, зная диаметр. Приближённо π ≈ 3,14, но это не точное значение числа.
Отрезок можно приложить к линейке, а кривую нельзя целиком совместить с прямой шкалой: изгиб мешает измерить её одним движением. Поэтому выбирают точки на кривой и соединяют соседние точки отрезками. Получившаяся ломаная состоит из прямых частей, длины которых можно измерить и сложить. Так измерение сложной линии сводится к измерению отрезков.
При уточнении разбиения на кривой выбирают больше точек, располагая их ближе друг к другу. Тогда звенья ломаной заменяют более короткие участки кривой, и ломаная лучше повторяет её изгибы. Если точек мало, между ними могут оставаться заметные дугообразные участки, которые отрезки передают неточно. Предел длин ломаных описывает длину самой кривой, когда разбиение становится сколь угодно мелким.
У окружностей разного размера соответствующие части пропорциональны: при увеличении диаметра во столько же раз увеличивается и длина окружности. Поэтому отношение длины к диаметру не меняется. Эту общую для всех окружностей постоянную обозначают греческой буквой π. Она связывает измеряемую длину с диаметром и не зависит от того, насколько велика окружность.
Из определения отношения получаем C/d = π, где C — длина окружности, а d — её диаметр. Умножив обе части равенства на d, получаем C = πd. Поскольку диаметр равен двум радиусам, d = 2R, эту формулу можно переписать через радиус: C = 2πR. Выбирай запись по той величине, которая известна в задаче.
Если дан радиус или диаметр, достаточно подставить его в подходящую формулу и выполнить вычисления. Например, при известном радиусе сначала можно найти диаметр, но обычно быстрее сразу использовать C = 2πR. В точном ответе оставляют π, а десятичное приближение используют, если требуется значение с заданной точностью. Результат выражается в единицах длины, потому что формула находит длину, а не площадь.
| Что известно или определяется | Обозначение | Связь с длиной окружности |
|---|---|---|
| Длина окружности | C | Искомая величина |
| Радиус окружности | R | Половина диаметра: d = 2R |
| Диаметр окружности | d | Удвоенный радиус: d = 2R |
| Отношение длины окружности к диаметру | C/d | Равно π |
| Формула через радиус | C = 2πR | Используется, если известен R |
| Формула через диаметр | C = πd | Используется, если известен d |
Сначала найди в условии известную величину: радиус или диаметр. Затем выбери строку с соответствующей формулой и подставь данные, сохраняя единицы измерения. Если дана длина окружности, по этим же формулам можно найти диаметр или радиус.
Известен радиус R = 4 см, а требуется найти длину окружности C. Поэтому используем формулу через радиус, а не формулу через диаметр. Подстановка числа π сохраняет точный ответ.
Ответ: 8π см, или приблизительно 25,12 см. Единица ответа — сантиметр, поскольку вычислялась длина.
Здесь известна длина C = 18π см, а нужно восстановить размеры окружности. Сначала удобнее найти диаметр по формуле C = πd. Затем используем то, что радиус составляет половину диаметра.
Ответ: диаметр равен 18 см, радиус — 9 см. Сокращение π допустимо, потому что оно входит и в длину, и в формулу.
За один полный оборот колесо проходит расстояние, равное длине его окружности. Значит, сначала найдём этот путь, а затем умножим его на 200. Переведём результат из сантиметров в метры, чтобы ответ был удобнее.
Ответ: 140π м, или приблизительно 439,6 м. Умножение на число оборотов учитывает весь путь, а не только один круг колеса.
Путают радиус и диаметр: подставляют радиус в формулу C = πd или используют множитель 2 при подстановке диаметра. Это происходит потому, что обе величины описывают размер окружности. Проверь себя: при радиусе нужен множитель 2π, при диаметре — π.
Принимают π за точное десятичное число 3,14. Так делают, потому что это привычное приближение удобно для вычислений, но оно не равно π точно. Если в задаче не просят десятичный результат, оставь π в ответе.
Забывают единицу длины или записывают квадратные единицы, например см². Путаница возникает из-за того, что в геометрии часто вычисляют и площади. Проверь, что искалась длина окружности: её единицы линейные — мм, см, м и другие.
В задаче о нескольких оборотах считают, что длина окружности и есть весь путь. Это расстояние относится только к одному полному обороту колеса. Чтобы проверить решение, умножь длину окружности на количество оборотов.
Для работы с окружностью нужны знакомые понятия радиуса и диаметра, а для измерения ломаной — длина отрезка и периметр многоугольника. Идея предела связывает измерение кривой с переходом от ломаной к всё более точному приближению. Формулы длины окружности пригодятся при вычислении длины дуги и площади круга. Они также помогают находить расстояние, которое проходит вращающееся колесо.
Как измеряют длину кривой, если её нельзя выпрямить?
На кривой выбирают точки и соединяют их отрезками, получая вписанную ломаную. Чем мельче разбиение кривой, тем точнее длина ломаной приближает длину кривой; её длину определяют как предел таких приближений.
Почему длина окружности связана именно с числом π?
У любой окружности отношение её длины к диаметру постоянно, хотя сами длина и диаметр могут быть разными. Эту постоянную величину обозначают π.
Как понять, какую формулу использовать — C = πd или C = 2πR?
Если известен диаметр d, используй C = πd. Если дан радиус R, удобнее взять C = 2πR, потому что диаметр вдвое больше радиуса.
Можно ли в ответе оставить число π, не заменяя его на 3,14?
Да, точный ответ часто записывают с π, например 8π см. Число 3,14 — только приближение π, его используют, когда нужен десятичный результат.
Как найти путь, который прошло колесо за несколько оборотов?
Сначала вычисли длину окружности колеса — путь за один полный оборот. Затем умножь её на число оборотов и проверь, что все величины выражены в согласованных единицах.
13.1. Измерение длины кривой. Длина окружности
