13.2. Длина дуги окружности

Определения и обозначения

Дуга окружности — часть окружности между двумя её точками, например A и B; её обозначают символом AB над буквами. Через A и B можно провести два пути по окружности, поэтому при необходимости уточняют, какую именно дугу имеют в виду. Дуга является линией, а соответствующий сектор — частью круга, ограниченной двумя радиусами и дугой. Различие помогает понять, что именно нужно измерять в задаче.

Градусная мера дуги — градусная мера центрального угла, который опирается на эту дугу. Центральным называют угол с вершиной в центре окружности, а его стороны проходят через концы дуги. Например, если такой угол равен 60°, то и дуга имеет градусную меру 60°. Эта величина показывает, какую часть полного оборота занимает дуга.

Длина дуги окружности — длина части окружности между концами дуги. Её обычно обозначают буквой l и выражают в единицах длины, например в сантиметрах или метрах. Градусная мера и длина отвечают на разные вопросы: первая показывает величину поворота, вторая — протяжённость линии. Это различие нужно учитывать при записи ответа.

Полная окружность соответствует дуге в 360°, а её длина равна 2πR, где R — радиус. Это наибольшая дуга, если считать весь путь от одной точки окружности до неё же по полному кругу. Формула 2πR даёт длину всей окружности, с которой можно сравнивать отдельную дугу. Она служит основой для формулы длины любой части окружности.

Как это устроено

Центральный угол показывает, насколько далеко нужно повернуть радиус, чтобы перейти от одного конца дуги к другому. Чем больше угол, тем большую часть полного поворота он составляет, а значит, тем большую часть окружности занимает соответствующая дуга. При 90° получается четверть оборота, при 180° — половина. Поэтому градусная мера позволяет сравнивать дуги даже у окружностей разного размера.

Полный оборот равен 360°, поэтому дуга в n° занимает долю n/360 от всей окружности. Длина всей окружности равна 2πR, и такую же долю от неё занимает длина дуги. Получаем l = 2πR · n/360. Например, угол в 60° составляет 60/360, то есть одну шестую полного поворота, поэтому соответствующая дуга равна одной шестой длины окружности.

Сократим выражение 2πR · n/360: двойка и 360 сокращаются, и выходит формула l = πRn/180. Здесь l — длина дуги, R — радиус окружности, n — градусная мера дуги. В формуле угол подставляют в градусах, а результат получают в тех же единицах длины, что и радиус. Обе записи равносильны, поэтому выбирай ту, с которой удобнее считать.

Если градусная мера дуги не меняется, отношение n/360 остаётся постоянным. Тогда увеличение радиуса в несколько раз во столько же раз увеличивает и длину дуги: окружность большего радиуса растянута пропорционально. Если же радиус постоянен, то увеличение угла увеличивает долю окружности, а вместе с ней и длину дуги. Эта зависимость объясняет, почему в формуле длина умножается и на R, и на n.

Формулу можно преобразовать, если неизвестна не длина дуги, а другая величина. Из l = πRn/180, умножив обе части на 180 и разделив на πR, получаем n = 180l/(πR). Если нужно найти радиус, аналогично выражаем его: R = 180l/(πn). Перед вычислением полезно записать формулу с искомой величиной отдельно, чтобы не перепутать, что делить и на что умножать.

Величины и формулы для дуги окружности

Сначала определи, какие величины даны в условии, а какая требуется, затем выбери соответствующую запись формулы. Если известна длина дуги, можно преобразовать формулу и найти радиус или угол. Следи, чтобы радиус и длина дуги были выражены в одинаковых единицах.

Разбор задач

Задача 1. Найти длину дуги окружности радиуса 6 см, если её градусная мера равна 60°. Угол 60° составляет 60/360 = 1/6 полного оборота, поэтому дуга должна быть шестой частью окружности. Можно воспользоваться общей формулой и проверить результат через длину всей окружности.

1. Записываем формулу: l = πRn/180.
2. Подставляем R = 6 см и n = 60°: l = π · 6 · 60/180.
3. Сокращаем 60/180 до 1/3: l = 2π см. Проверка: полная длина равна 2π · 6 = 12π см, а её шестая часть — 2π см.

Ответ: 2π см.

Задача 2. Радиус окружности равен 10 см, а длина дуги — 5π см. Нужно найти градусную меру дуги. Здесь известны длина и радиус, поэтому неизвестный угол удобнее сразу выразить из формулы. Результат должен быть меньше 360°, так как речь идёт о части полной окружности.

1. Записываем формулу длины дуги: l = πRn/180.
2. Подставляем данные: 5π = π · 10 · n/180.
3. Сокращаем π и получаем 5 = 10n/180, откуда 5 = n/18. Умножаем обе части на 18: n = 90°.

Ответ: 90°. Проверка: 90° — четверть круга, а четверть окружности длиной 20π см равна 5π см.

Задача 3. Длина дуги равна 4π см, а её градусная мера — 72°. Требуется найти радиус окружности. Искомая величина R содержится в формуле вместе с π и углом, поэтому сначала выразим её, а затем подставим данные. В конце проверим, что единицы результата — сантиметры.

1. Из l = πRn/180 выражаем радиус: R = 180l/(πn).
2. Подставляем l = 4π см и n = 72°: R = 180 · 4π/(π · 72).
3. Сокращаем π и вычисляем: R = 720/72 = 10 см. У единицы длины дуги сохранились сантиметры, а угол подставлен числом градусов.

Ответ: 10 см.

Типичные ошибки

Первая ошибка — подставить n вместо доли n/360, забыв, что дуга составляет часть полного круга. Так можно получить длину, во много раз больше длины всей окружности. Ошибка возникает, если запомнить только переменные, но не смысл формулы. Проверь вычисление: при угле меньше 360° длина дуги должна быть меньше 2πR.

Вторая ошибка — использовать диаметр вместо радиуса в формуле l = πRn/180. Диаметр вдвое больше радиуса, поэтому такая подстановка удвоит результат. Это происходит, когда в условии дан диаметр и его автоматически принимают за R. Найди половину диаметра или используй отдельную формулу l = πdn/360, где d — диаметр.

Третья ошибка — путать длину дуги с её градусной мерой. Например, запись ответа «60 см» для меры 60° смешивает единицы разных величин. Причина обычно в том, что обе величины описывают одну дугу, хотя измеряют её по-разному. Перед ответом сверься с вопросом задачи: длину записывают в сантиметрах, а градусную меру — в градусах.

Четвёртая ошибка — не перевести единицы или потерять их при вычислениях. Если радиус дан в метрах, а длина требуется в сантиметрах, их нужно привести к одной системе до подстановки. При умножении и делении единицы длины должны привести к единице искомой величины. В конце запиши подходящую единицу и проверь, что ответ выражает именно длину, радиус или угол.

Связь с другими темами

Для вычисления длины дуги нужны понятия окружности, радиуса и центрального угла, а также формула длины окружности 2πR. Градусная мера дуги связана с измерением углов: дуга и центральный угол имеют одинаковую градусную меру. Пропорция объясняет основной способ решения: доля дуги от полной окружности равна доле её угла от 360°. Такие вычисления применяются при движении по окружности и нахождении периметров фигур с дуговыми сторонами. Позднее длина дуги связывается с измерением углов в радианах.

Что запомнить

• Полная окружность соответствует 360° и имеет длину 2πR.
• Дуга в n° составляет n/360 часть окружности.
• Длина дуги равна l = 2πR · n/360.
• Упрощённая формула длины дуги: l = πRn/180.
• В формуле R — радиус, n — градусная мера дуги.
• Длина дуги выражается в единицах длины, а не в градусах.