"Геометрия (изд. «Просвещение»)", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Площадь показывает, какую часть плоскости занимает фигура, и позволяет сравнивать размеры участков, деталей и других объектов. Её измеряют квадратными единицами, а сложные фигуры разбивают на более простые. Для круга используют формулу S = πr², где r — радиус, а π — отношение длины окружности к диаметру. Если дан диаметр, сначала находят радиус; при изменении радиуса площадь меняется пропорционально его квадрату.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь плоской фигуры — величина, которая показывает, какую часть плоскости занимает фигура. По площади можно сравнить две фигуры: если одна укладывается в другую без остатка, её площадь не больше площади второй. Для измерения выбирают одинаковые единицы и сравнивают с ними рассматриваемую область.
Единица площади — площадь квадрата, сторона которого равна единице длины. Например, квадрат со стороной 1 см имеет площадь 1 см², а квадрат со стороной 1 м — 1 м². В соседних единицах длины соотношение равно 10, поэтому соответствующие квадратные единицы различаются в 100 раз: 1 м² = 10 000 см².
Площадь круга — площадь части плоскости, ограниченной окружностью, включая саму границу. Окружность — только замкнутая линия, а круг — линия вместе со всей областью внутри неё. Это различие помогает не путать задачу о длине границы с задачей о площади поверхности.
Число π — отношение длины окружности к её диаметру; для любой окружности оно одно и то же и приблизительно равно 3,14. В формуле площади круга π связывает размер круга с квадратом его радиуса: S = πr². Буквой r обозначают радиус, а S — площадь.
Площадь можно измерять, покрывая фигуру одинаковыми единичными квадратами без промежутков и наложений. Сколько таких квадратов уместилось, столько единиц площади составляет фигура; если края не совпадают с сеткой, часть квадратов учитывают как доли. Результат зависит от выбранной единицы: маленьких квадратов в той же области поместится больше, чем больших, поэтому вместе с числом всегда указывают единицы.
Равные фигуры имеют равные площади, потому что их можно совместить, не меняя занимаемой области. Если фигуру разрезать на части без наложений, то все они вместе занимают ровно ту же область, что и исходная фигура. Поэтому площадь целого равна сумме площадей частей; разрезание не создаёт и не убирает площадь.
У сложной фигуры часто нет одной удобной формулы, но её можно разбить на прямоугольники, треугольники и другие знакомые части. Сначала находят размеры каждой части и вычисляют её площадь, затем складывают результаты. Иногда проще дополнить фигуру до прямоугольника или другой простой формы и вычесть площадь добавленной области; так легче избежать сложных отдельных вычислений.
Формулу площади круга объясняют приближением многоугольниками. В круг вписывают многоугольник и описывают вокруг него другой: площадь первого меньше площади круга, а площадь второго больше. Когда число сторон растёт, многоугольники всё точнее подходят к окружности, и разница их площадей уменьшается; в результате получается формула S = πr².
Если диаметр обозначить d, то радиус равен d/2. Подстановка в формулу даёт S = π(d/2)² = πd²/4. Квадрат радиуса объясняет, почему увеличение радиуса в k раз увеличивает площадь в k² раз: например, при удвоении радиуса площадь становится в четыре раза больше.
| Фигура | Формула площади | Какие данные нужны |
|---|---|---|
| Прямоугольник | S = ab | Длины двух соседних сторон a и b |
| Параллелограмм | S = ah | Основание a и высота h к нему |
| Треугольник | S = ah/2 | Основание a и высота h к нему |
| Трапеция | S = (a + b)h/2 | Основания a и b, высота h |
| Круг | S = πr² | Радиус r |
Сначала определите фигуру и проверьте, какие размеры известны: высота должна быть проведена именно к выбранному основанию. Если нужной величины нет, найдите её по условию, прежде чем подставлять числа. Все длины удобно привести к одной единице, а ответ записать в квадратных единицах.
Задача 1. Найти площадь круга радиуса 5 см. Известен радиус, поэтому можно сразу применить формулу площади круга; единицы в ответе будут квадратными, поскольку вычисляется площадь.
Ответ: 25π см², или приблизительно 78,5 см². Точное выражение оставляют с π, если округление не требуется. Приближённый результат указывают вместе с единицами площади.
Задача 2. Диаметр круга равен 12 м. Найти его площадь. Нельзя сразу подставить 12 в формулу S = πr², потому что в ней используется радиус; сначала надо разделить диаметр пополам.
Ответ: 36π м², или приблизительно 113,04 м². Проверка: радиус действительно меньше диаметра вдвое. Единица ответа — м², так как речь идёт о площади.
Задача 3. Площадка состоит из прямоугольника 10 м × 6 м и примыкающего к нему полукруга диаметром 6 м. Найти площадь площадки. Части соединены по границе и не перекрывают друг друга, поэтому общая площадь равна сумме площадей прямоугольника и полукруга.
Ответ: 60 + 9π/2 м², или приблизительно 74,13 м². Делить площадь круга пополам нужно потому, что в площадке находится только половина круга. До сложения обе части выражены в квадратных метрах.
Подставлять диаметр вместо радиуса в формулу S = πr² — значит завысить площадь в четыре раза. Так ошибаются, когда путают два размера круга или не проверяют обозначение в формуле. Перед вычислением запишите r = d/2; полученный радиус должен быть вдвое меньше диаметра.
Запись ответа в сантиметрах или метрах неверна: это единицы длины, а не площади. Ошибка часто появляется, если при вычислениях следят только за числами и забывают возвести единицу длины в квадрат. Проверьте размерность: например, см · см = см², а площадь круга измеряется в м², см² и других квадратных единицах.
Удвоение радиуса не удваивает площадь, а увеличивает её в четыре раза, потому что в формуле радиус возводится в квадрат. Линейное изменение кажется правдоподобным, если воспринимать круг только как расстояние от центра до края. Подставьте новый радиус: π(2r)² = 4πr² — такая проверка сразу показывает коэффициент изменения.
При сложении площадей частей нельзя учитывать перекрытие дважды или оставлять незамеченный участок. Это происходит, если чертёж мысленно делят, не проверив, покрывают ли части всю фигуру и не накладываются ли они. До вычисления проследите, что части вместе составляют ровно исходную фигуру; для проверки можно дополнить её до простой формы и сравнить результат.
Для работы с площадями нужны формулы прямоугольника, треугольника, параллелограмма и трапеции, а также перевод единиц длины и площади. Эти знания позволяют разбирать составные фигуры и не смешивать, например, сантиметры с метрами в одном вычислении. Площадь круга встречается при расчётах круговых площадок и деталей, а связь π с длиной окружности помогает перейти к задачам о секторе и других круговых фигурах.
Чем круг отличается от окружности?
Окружность — это замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра. Круг включает и эту линию, и всю область внутри неё. Поэтому длину измеряют у окружности, а площадь — у круга.
Почему площадь круга выражается через квадрат радиуса?
Если увеличить радиус в несколько раз, круг меняется сразу в двух направлениях: по ширине и по высоте. Поэтому его площадь растёт как квадрат коэффициента увеличения. Формула S = πr² отражает эту зависимость.
Как найти площадь круга, если дан только его диаметр?
Сначала разделите диаметр на два: радиус равен половине диаметра. Затем подставьте радиус в формулу S = πr². Можно сразу использовать равносильную формулу S = πd²/4.
Почему площадь измеряют квадратными, а не линейными единицами?
Линейная единица показывает длину, а площадь описывает размер поверхности в двух направлениях. Квадрат со стороной 1 см занимает 1 см², то есть служит мерой площади. Поэтому результат записывают в квадратных единицах.
Как найти площадь фигуры, которая не имеет простой формулы?
Разбейте её на части, площади которых можно вычислить по известным формулам, и сложите результаты. Если удобнее, дополните исходную фигуру до простой и вычтите площадь лишней части. Части должны покрывать исходную фигуру без пропусков и перекрытий.
13.3. Измерение площади плоской фигуры. Площадь круга
