§ 14. Вписанные и описанные окружности

Определения и обозначения

Вписанная окружность треугольника — окружность, которая касается всех трёх его сторон. Она целиком находится внутри треугольника, а каждая сторона является касательной к окружности. Такая окружность нужна, чтобы связать стороны треугольника с одним общим центром и радиусом.

Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис углов треугольника. Биссектриса делит угол пополам, и любая её точка находится на одинаковом расстоянии от сторон этого угла. Поэтому центр вписанной окружности равноудалён от всех трёх сторон.

Описанная окружность треугольника — окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Вершины лежат на окружности, а стороны являются хордами. Она позволяет рассматривать треугольник как часть окружности и находить общие свойства его вершин.

Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Серединный перпендикуляр состоит из точек, равноудалённых от концов отрезка. Поэтому центр описанной окружности находится на одинаковом расстоянии от всех трёх вершин.

Как это устроено

Рассмотрим угол и точку на его биссектрисе. Опустим из точки перпендикуляры на обе стороны угла и получим два прямоугольных треугольника. У них равны гипотенузы, потому что это один и тот же отрезок, равны углы при вершине и по одному прямому углу, значит, треугольники равны. Следовательно, перпендикулярные расстояния от точки до сторон угла одинаковы.

В треугольнике возьмём точку пересечения биссектрис двух углов. Она равноудалена от сторон первого угла и от сторон второго, поэтому расстояния до двух выбранных сторон треугольника совпадают. Из этого следует, что она лежит и на биссектрисе третьего угла: точки, равноудалённые от его сторон, находятся именно на этой биссектрисе. Все внутренние биссектрисы проходят внутри треугольника, поэтому их общая точка также лежит внутри него и становится центром вписанной окружности.

Для отрезка середина делит его на два равных отрезка. Если точка лежит на перпендикуляре, проведённом через середину, то два прямоугольных треугольника по разные стороны от этого перпендикуляра имеют равные катеты и общий перпендикуляр. Они равны, поэтому расстояния от точки до концов отрезка одинаковы. Обратно, любая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на таком перпендикуляре.

Проведём серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника и найдём их пересечение. Эта точка равноудалена от концов каждой из двух сторон, то есть от трёх вершин, входящих в эти стороны. Значит, она автоматически лежит и на серединном перпендикуляре к третьей стороне. Проведённая из неё окружность через одну вершину пройдёт и через две остальные, поэтому будет описанной.

Положение центра описанной окружности зависит от углов треугольника. В остроугольном треугольнике он находится внутри, в прямоугольном — на середине гипотенузы, а в тупоугольном — вне треугольника. Причина в том, что направление серединных перпендикуляров меняется вместе с величиной углов.

Вписанная и описанная окружности треугольника

Сначала определите, о какой окружности говорится: вписанная связана со сторонами, а описанная — с вершинами. Затем выберите соответствующее геометрическое место точек для построения центра. Последнюю строку удобно использовать в задачах о прямоугольном треугольнике.

Разбор задач

Задача 1. Центр вписанной окружности

В треугольнике проведены биссектрисы двух углов. Требуется определить, где находится центр вписанной окружности. Нужно не просто назвать точку, а проверить её связь со сторонами треугольника.

1. Обозначим точку пересечения двух биссектрис через I.
2. Так как I лежит на биссектрисе первого угла, расстояния от I до двух его сторон равны.
3. По той же причине расстояния от I до сторон второго угла равны, поэтому расстояния до всех трёх сторон треугольника одинаковы.
4. Проведём из I перпендикуляр к любой стороне и возьмём его длину за радиус.

Ответ: точка I — центр вписанной окружности. Окружность с центром I и найденным радиусом касается всех сторон треугольника.

Задача 2. Описанная окружность прямоугольного треугольника

Дан прямоугольный треугольник с гипотенузой длины c. Требуется найти центр и радиус описанной окружности. В прямоугольном треугольнике нужно использовать специальное свойство гипотенузы.

1. Найдём середину гипотенузы и обозначим её через O.
2. Середина гипотенузы равноудалена от всех трёх вершин прямоугольного треугольника.
3. Значит, O является центром окружности, проходящей через вершины.
4. Расстояние от O до любой вершины равно половине гипотенузы, поэтому R = c/2.

Ответ: центр описанной окружности находится в середине гипотенузы, а её радиус равен c/2. Например, при c = 10 см радиус равен 5 см.

Задача 3. Построение двух окружностей

Дан треугольник с заданными сторонами и углами. Требуется построить вписанную и описанную окружности и объяснить, почему построение верно. Для каждой окружности сначала нужно найти её особый центр.

1. Проведём биссектрисы двух углов и обозначим их пересечение через I.
2. Из I опустим перпендикуляр на любую сторону; его длина r будет радиусом вписанной окружности.
3. Проведём серединные перпендикуляры к двум сторонам и обозначим их пересечение через O.
4. Проведём окружность с центром I и радиусом r, затем окружность с центром O через любую вершину.

Ответ: первая окружность касается всех сторон, потому что I равноудалена от них. Вторая проходит через все вершины, потому что O равноудалена от вершин.

Типичные ошибки

Путаница с вершинами. Иногда считают, что центр вписанной окружности равноудалён от вершин. Так происходит из-за смешения двух похожих определений. Проверьте себя: у вписанной окружности измеряют расстояния до сторон.

Путаница со сторонами. Центру описанной окружности ошибочно приписывают равноудалённость от сторон. На самом деле он равноудалён от вершин, иначе окружность не обязана проходить через них. Проверьте условие: описанная окружность должна содержать все вершины.

Неверное построение центра. Биссектрисы используют для вписанной окружности, а серединные перпендикуляры — для описанной. Ошибку легко обнаружить, если подписать рядом с каждой линией её свойство. Биссектриса делит угол, а серединный перпендикуляр проходит через середину отрезка.

Центр описанной окружности всегда внутри. Это верно только для остроугольного треугольника. В прямоугольном треугольнике центр лежит на гипотенузе, а в тупоугольном — вне треугольника.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны свойства биссектрисы угла, серединного перпендикуляра и касательной к окружности. Они объясняют, почему центры окружностей имеют именно такие положения.

Свойства вписанных и описанных окружностей пригодятся при решении задач на треугольники и геометрических построениях. Позже они помогут изучать многоугольники, вписанные в окружность или описанные около неё.

Что запомнить

• Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
• Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис.
• Описанная окружность проходит через все вершины треугольника.
• Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров.
• Центр вписанной окружности равноудалён от сторон, а центр описанной — от вершин.
• В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности — середина гипотенузы.