"Геометрия", Смирнова И.М., Смирнов В.А.
Прямая и окружность могут иметь две общие точки, одну общую точку или не иметь общих точек. Чтобы определить, какой случай получился, находят расстояние от центра окружности до прямой — длину перпендикуляра — и сравнивают его с радиусом. Если расстояние меньше радиуса, прямая пересекает окружность; если равно ему, касается; если больше, проходит вне окружности. Это правило помогает распознавать секущие и касательные, а также находить длины хорд.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Секущая — прямая, имеющая с окружностью две общие точки; эти точки называются точками пересечения. Можно представить, что прямая проходит сквозь круг и встречает его границу сначала с одной стороны, затем с другой. Это название помогает сразу понять, что у прямой и окружности две общие точки.
Касательная — прямая, имеющая с окружностью одну общую точку; эта точка называется точкой касания. В месте касания прямая как будто касается окружности, не проходя внутрь неё. Определение позволяет отличить касательную от секущей, которая пересекает окружность в двух точках.
Расстояние от центра окружности до прямой — длина перпендикуляра, опущенного из центра на прямую. Перпендикуляр пересекает прямую под прямым углом, а его конец на прямой называют основанием перпендикуляра. Это расстояние нужно сравнивать с радиусом, чтобы определить положение прямой относительно окружности.
Взаимное расположение прямой и окружности — один из трёх случаев: две общие точки, одна общая точка или отсутствие общих точек. Такой способ описания отвечает на вопрос, сколько раз прямая встречается с окружностью. В каждом случае положение можно определить по расстоянию от центра до прямой.
Чтобы измерить, насколько близко прямая проходит к центру, из центра проводят к ней перпендикуляр. Именно он показывает кратчайшее расстояние от точки до прямой: любой наклонный отрезок от центра до прямой длиннее перпендикуляра. Основание перпендикуляра помогает сравнить положение прямой с границей окружности. Если известен радиус, достаточно сопоставить с ним длину перпендикуляра.
Когда расстояние от центра до прямой меньше радиуса, основание перпендикуляра находится внутри окружности. Значит, от центра до прямой ближе, чем до окружности по радиусу, и прямая проходит через внутреннюю часть круга. Чтобы выйти из круга с одной стороны, она пересекает окружность; затем, проходя дальше, выходит с другой стороны. Поэтому возникают две точки пересечения, а прямая называется секущей.
Если расстояние от центра до прямой равно радиусу, основание перпендикуляра лежит на окружности. Действительно, любая точка на расстоянии одного радиуса от центра принадлежит окружности. Прямая проходит через основание перпендикуляра, но не входит внутрь круга: при прямом угле к радиусу она лишь касается окружности в этой точке. Поэтому общая точка одна, а прямая является касательной.
Если расстояние от центра до прямой больше радиуса, даже ближайшая к центру точка прямой находится дальше, чем граница окружности. Значит, вся прямая проходит снаружи круга и не встречается с окружностью. Общих точек нет. Это объясняет, почему важно брать именно кратчайшее расстояние: более длинный наклонный отрезок мог бы привести к неверному сравнению.
Радиус, проведённый к точке касания, перпендикулярен касательной. Это свойство можно использовать и в обратном направлении: если прямая проходит через точку окружности и перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, она является касательной. Причина в том, что перпендикуляр из центра до прямой имеет длину радиуса. По сравнению расстояния с радиусом это означает, что у прямой и окружности ровно одна общая точка.
| Условие | Общие точки | Расположение прямой |
|---|---|---|
| Расстояние от центра меньше радиуса | Две | Секущая, проходит через окружность |
| Расстояние от центра равно радиусу | Одна | Касательная |
| Расстояние от центра больше радиуса | Ни одной | Проходит вне окружности |
Сначала найди перпендикулярное расстояние от центра до прямой, затем сравни его с радиусом. Выбери подходящую строку таблицы: она сразу показывает и число общих точек, и название положения. Равенство расстояния и радиуса не означает пересечение в двух точках — общая точка в этом случае одна.
Условие. Радиус окружности равен 5 см, а расстояние от её центра до прямой — 3 см. Определите число общих точек. Здесь расстояние уже дано, поэтому остаётся сравнить два числа и применить правило взаимного расположения.
Ответ: две общие точки; прямая является секущей.
Условие. Радиус окружности равен 13 см, расстояние от её центра до прямой — 5 см. Найдите длину хорды, которую прямая отсекает в окружности. Сначала нужно понять, как перпендикуляр от центра связан с хордой, а затем найти половину хорды.
Ответ: 24 см.
Условие. Из точки окружности проведена прямая, перпендикулярная радиусу, проведённому в эту точку. Докажите, что прямая касается окружности. Здесь точка, в которой проведён радиус, принадлежит окружности и одновременно лежит на прямой — это условие нужно для применения обратного свойства.
Ответ: l касается окружности в точке A.
При расстоянии, равном радиусу, иногда считают, что прямая пересекает окружность в двух точках. Так ошибаются, принимая равенство за случай, когда прямая проходит внутри круга. Проверь себя по определению: если ближайшая точка прямой лежит на окружности, прямая касается её только там, и общая точка одна.
Другая ошибка — сравнивать радиус с длиной наклонного отрезка от центра до прямой. Наклонный отрезок длиннее перпендикуляра, поэтому такое сравнение может дать неверный результат. Перед решением отметь прямой угол у основания перпендикуляра и используй именно этот отрезок.
Иногда касательной называют прямую, расстояние от которой до центра меньше радиуса. Возможно, путают касание с пересечением окружности. Но меньшее расстояние означает, что прямая проходит внутри круга и встречает его границу в двух точках. Для проверки сравни длины: равенство соответствует касательной, а строгое неравенство «меньше» — секущей.
Перпендикулярность сама по себе ещё не доказывает касание, если радиус проведён не в точку окружности, лежащую на прямой. Ошибку допускают, забывая, что обратное свойство требует конкретной точки касания. Проверь, что один конец радиуса находится в центре, а другой — одновременно на окружности и на прямой; только тогда можно применить это свойство.
Для этой темы нужны определения окружности, радиуса, хорды и перпендикуляра, а также умение сравнивать длины отрезков. Чтобы находить хорду, используют теорему Пифагора; чтобы правильно измерять расстояние до прямой, — свойство перпендикуляра как кратчайшего отрезка. Эти знания пригодятся дальше при изучении касательных, хорд и геометрических построений. Понимание взаимного расположения помогает выбирать нужное свойство в задачах.
Как определить, сколько общих точек у прямой и окружности?
Найди расстояние от центра окружности до прямой и сравни его с радиусом. Если расстояние меньше радиуса, общих точек две; если равно радиусу — одна; если больше — общих точек нет.
Как правильно найти расстояние от центра окружности до прямой?
Из центра опусти перпендикуляр на прямую. Длина этого перпендикуляра и есть расстояние от центра до прямой; наклонный отрезок для этого не подходит.
Почему при расстоянии, равном радиусу, прямая касается окружности?
Перпендикуляр от центра до прямой имеет длину, равную радиусу, поэтому его конец лежит на окружности. Прямая проходит через эту точку, а перпендикуляр к радиусу в точке окружности задаёт касательную.
Как доказать, что данная прямая является касательной?
Нужно показать, что прямая проходит через точку окружности и перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку. По обратному свойству такая прямая является касательной.
Как найти длину хорды, если известны радиус и расстояние от центра до прямой?
Перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам. Если радиус равен R, а расстояние до прямой — d, половина хорды равна √(R² − d²), а вся хорда — 2√(R² − d²). Это применимо, когда d меньше R.
§ 17. Взаимное расположение прямой и окружности
