§ 16. Окружность и круг

Определения и обозначения

Окружность — множество точек плоскости, равноудалённых от одной точки. Эта точка называется центром окружности. Зная центр и расстояние до границы, можно однозначно задать окружность.

Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью, вместе с самой окружностью. Поэтому окружность является только границей, а круг содержит ещё и все точки внутри этой границы. Такое различие нужно, чтобы не путать линию и область.

Радиус — отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности. Длиной радиуса называют длину этого отрезка. Радиус показывает расстояние от центра до границы.

Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности, а диаметр — хорда, проходящая через центр. Диаметр можно представить как два радиуса, лежащих на одной прямой. Поэтому его длина равна двум радиусам: d = 2r.

Как это устроено

Чтобы построить окружность с заданными центром и радиусом, сначала отмечают центр, например точку O. Затем выбирают расстояние r и находят все точки, удалённые от O на это расстояние. Если соединить такие точки плавной линией, получится окружность: ни одна её точка не будет ближе или дальше заданного расстояния.

Все радиусы одной окружности равны не случайно. Каждый радиус начинается в одном и том же центре и заканчивается в точке, принадлежащей данной окружности. А по определению все точки окружности находятся от центра на одинаковом расстоянии, значит, длины радиусов совпадают.

Окружность и круг различаются количеством входящих в них точек. В окружность входят только точки границы, поэтому, например, точка внутри неё окружности не принадлежит. В круг входят и граничные, и внутренние точки, так как круг представляет собой всю область, ограниченную окружностью.

Диаметр является самой длинной хордой, потому что проходит через центр. Его концы находятся по разные стороны от центра, а сам отрезок складывается из двух радиусов, направленных в противоположные стороны. Любая другая хорда не проходит через центр, поэтому её части от центра до концов не дают двух радиусов на одной прямой, и она короче диаметра.

Окружность и круг

Таблица помогает определить, идёт ли речь о линии или о целой области. Если говорится только о точках на границе, нужно выбрать окружность. Если учитываются и точки внутри, речь идёт о круге.

Радиус задаёт размер и окружности, и круга, а центр задаёт их положение на плоскости.

Разбор задач

Задача 1

На рисунке отмечены центр O и точка A на окружности. Назовите радиус и объясните, почему OA — радиус.

1. Проверяем концы отрезка OA: один конец — точка O, центр окружности.
2. Второй конец — точка A, лежащая на окружности.
3. По определению отрезок, соединяющий центр с точкой окружности, является радиусом.

Ответ: OA — радиус, потому что он соединяет центр O с точкой A окружности.

Задача 2

Радиус окружности равен 4 см. Найдите длину диаметра и объясните ход решения.

1. Вспоминаем связь между диаметром и радиусом: диаметр состоит из двух радиусов.
2. Записываем формулу: d = 2r.
3. Подставляем значение радиуса: d = 2 · 4 см = 8 см.

Ответ: длина диаметра равна 8 см. Умножение на два показывает, что радиус нужно взять два раза.

Задача 3

Хорда AB проходит через центр O, а радиус окружности равен 3,5 см. Найдите AB и определите, какая это хорда.

1. Хорда AB проходит через центр, значит, по определению она является диаметром.
2. Для диаметра используем формулу d = 2r.
3. Вычисляем: AB = 2 · 3,5 см = 7 см.

Ответ: AB — диаметр окружности, его длина равна 7 см. Название хорды определяется тем, проходит ли она через центр.

Типичные ошибки

Ошибка: называть кругом только линию границы. Так происходит из-за того, что в обычной речи эти слова иногда смешивают. Проверьте себя: если внутренние точки не учитываются, это окружность, а не круг.

Ошибка: считать радиусом любой отрезок от центра. Второй конец радиуса обязательно должен лежать на окружности, иначе это просто отрезок, исходящий из центра. Проверьте оба его конца и убедитесь, что один из них находится на границе.

Ошибка: считать любую хорду диаметром. Хорда становится диаметром только при прохождении через центр, поэтому одного условия о концах на окружности недостаточно. Проведите мысленно или фактически линию через центр и проверьте, лежит ли на ней хорда.

Ошибка: приравнивать радиус диаметру. Причина — забывают, что диаметр включает два радиуса. Проверьте формулу d = 2r: если радиус 5 см, диаметр должен быть 10 см.

Связь с другими темами

До изучения окружности нужно понимать, что такое точка, отрезок, прямая и расстояние между точками. Эти понятия помогают точно описывать положение центра, концы радиуса и хорды. Без них трудно представить, какие точки принадлежат окружности.

Радиус, хорда и диаметр понадобятся при изучении свойств окружности и решении геометрических задач. С их помощью находят длины отрезков, сравнивают хорды и выполняют построения. Формула d = 2r часто используется вместе с известными свойствами фигур.

Что запомнить

• Окружность — граница, круг — часть плоскости вместе с границей.
• Центр равноудалён от всех точек окружности.
• Радиус соединяет центр с точкой окружности.
• Все радиусы одной окружности равны.
• Хорда соединяет две точки окружности.
• Диаметр — хорда, проходящая через центр.
• Диаметр равен двум радиусам.