68. Взаимное расположение прямой и окружности

Определения и обозначения

Секущая — прямая, имеющая с окружностью две общие точки. Название связано со словом «сечь»: такая прямая как бы рассекает окружность в местах пересечения. Если прямая пересекает окружность в точках A и B, их обозначают буквами A и B; запись показывает, где именно находятся две общие точки.

Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку. В отличие от секущей, она не проходит сквозь окружность: прямая только касается её в одном месте. Это определение помогает отличить касательную от прямой, которая пересекает окружность в двух точках.

Точка касания — единственная общая точка касательной и окружности. Если касательная касается окружности в точке T, буквой T обозначают именно это место. Точка нужна, чтобы указать радиус, который проведён к месту касания, и изучить его положение относительно прямой.

Как это устроено

Чтобы понять, как расположены прямая и окружность, сначала находят расстояние от центра окружности до прямой. Расстоянием от точки до прямой называют длину перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Перпендикуляр — отрезок, который образует с прямой прямой угол, то есть угол 90°. Именно такой отрезок показывает кратчайший путь от центра до прямой, поэтому расстояние нельзя измерять по наклонному отрезку.

Если расстояние от центра до прямой меньше радиуса, прямая пересекает окружность в двух точках и называется секущей. Представьте перпендикуляр от центра к прямой: его основание находится внутри круга, потому что до прямой ближе, чем до окружности по радиусу. Если двигаться по прямой от основания перпендикуляра в обе стороны, можно дойти до окружности с каждой стороны. Поэтому появляются две общие точки.

Если расстояние от центра до прямой равно радиусу, прямая имеет с окружностью одну общую точку и называется касательной. Основание перпендикуляра от центра в этом случае лежит на окружности: расстояние от центра до основания равно радиусу. Все остальные точки прямой расположены дальше от центра, поэтому на окружности не лежат. Общей остаётся только точка у основания перпендикуляра.

Если расстояние от центра до прямой больше радиуса, общих точек нет. Перпендикуляр показывает самое короткое расстояние от центра до прямой, поэтому любая другая точка этой прямой находится от центра не ближе, а дальше. Значит, до любой точки прямой расстояние больше радиуса. Но каждая точка окружности находится от центра ровно на расстоянии радиуса, поэтому ни одна точка прямой не может принадлежать окружности.

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, потому что отрезок от центра до касательной, измеряющий расстояние, должен быть перпендикулярным ей. При касании это расстояние равно радиусу, а его конец лежит на окружности, то есть является точкой касания. Верно и обратное утверждение: если из центра опустить на прямую перпендикуляр длиной, равной радиусу, основание перпендикуляра окажется на окружности. Тогда прямая касается окружности в этой точке.

Взаимное расположение прямой и окружности

Пользуйтесь таблицей так: сначала определите расстояние от центра до прямой, затем сравните его с радиусом. Результат сравнения сразу подскажет число общих точек и название прямой. Если расстояние дано не напрямую, его иногда нужно сначала найти по условию задачи.

Разбор задач

Задача 1. Радиус окружности равен 5 см, расстояние от её центра до прямой — 3 см. Определите взаимное расположение прямой и окружности. Здесь не нужно находить точки пересечения: достаточно выяснить, меньше ли расстояние радиуса.

1. Сравниваем расстояние и радиус: 3 см < 5 см.
2. По правилу, если расстояние меньше радиуса, прямая имеет с окружностью две общие точки.
3. Такую прямую называют секущей.

Ответ: прямая является секущей и пересекает окружность в двух точках.

Задача 2. Радиус окружности равен 7 см, а расстояние от центра до прямой — 7 см. Нужно определить число общих точек и назвать прямую. Равенство расстояния и радиуса означает, что основание перпендикуляра из центра лежит на окружности.

1. Сравниваем величины: 7 см = 7 см.
2. При равенстве расстояния радиусу прямая имеет с окружностью одну общую точку.
3. Прямую, имеющую одну общую точку с окружностью, называют касательной.

Ответ: одна общая точка; прямая является касательной.

Задача 3. Радиус окружности равен 10 см, из центра к прямой проведён перпендикуляр длиной 6 см. Найдите расстояние от основания перпендикуляра до ближайшей точки окружности и определите число общих точек. Радиус к ближайшей точке окружности образует с перпендикуляром прямоугольный треугольник: радиус — гипотенуза, а катет равен 6 см.

1. Обозначим искомое расстояние через x. По теореме Пифагора: x² + 6² = 10².
2. Находим x² = 100 − 36 = 64, поэтому x = 8 см. Берём положительное значение, так как ищем длину отрезка.
3. Сравниваем расстояние от центра до прямой с радиусом: 6 см < 10 см. Значит, прямая является секущей и имеет две общие точки с окружностью.

Ответ: расстояние равно 8 см; у прямой и окружности две общие точки.

Типичные ошибки

Ошибка: считать прямую касательной, если расстояние от центра до неё меньше радиуса. Так путают касание с пересечением, хотя при меньшем расстоянии прямая проходит через окружность и имеет две общие точки. Для самопроверки сравните числа и сверьтесь с правилом: равенство, а не меньшая величина, указывает на касательную.

Ошибка: измерять расстояние от центра до произвольной точки прямой. Наклонный отрезок может быть длиннее кратчайшего расстояния и привести к неверному сравнению с радиусом. Проверка простая: расстоянием считается только длина перпендикуляра, то есть отрезка под углом 90° к прямой.

Ошибка: утверждать, что касательная перпендикулярна любому радиусу окружности. Перпендикулярно ей только то направление радиуса, который проведён в точку касания; другие радиусы наклонены к прямой. Уточните, к какой точке окружности проведён радиус: если это не точка касания, перпендикулярность не следует.

Ошибка: считать, что при расстоянии от центра до прямой больше радиуса прямая всё же пересечёт окружность. Такое предположение не учитывает, что перпендикуляр задаёт кратчайший путь, а до любой точки прямой расстояние не меньше него. Если уже кратчайшее расстояние больше радиуса, вся прямая находится вне окружности; значит, общих точек нет.

Связь с другими темами

Для этой темы пригодятся понятия окружности, её центра и радиуса, а также умение строить перпендикуляр и находить расстояние от точки до прямой. Без этих знаний нельзя правильно сравнить расстояние с радиусом. Тема, в свою очередь, помогает изучать свойства касательной и строить касательные к окружности. В задачах на расстояния и радиусы также встречаются прямоугольные треугольники и теорема Пифагора.

Что запомнить

• Сравнивают радиус окружности и расстояние от её центра до прямой.
• Если расстояние меньше радиуса, прямая — секущая.
• Если расстояние равно радиусу, прямая — касательная.
• Если расстояние больше радиуса, общих точек нет.
• Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
• Перпендикуляр из центра к прямой равен радиусу, если эта прямая касается окружности.